约数和问题 (codevs2606 && 洛谷2424)

题目背景

Smart最近沉迷于对约数的研究中。

题目描述

对于一个数X，函数f(X)表示X所有约数的和。例如：f(6)=1+2+3+6=12。对于一个X，Smart可以很快的算出f(X)。现在的问题是，给定两个正整数X,Y(X<Y)，Smart希望尽快地算出f(X)+f(X+1)+……+f(Y)的值，你能帮助Smart算出这个值吗？

输入输出格式

输入格式：

输入文件仅一行，两个正整数X和Y（X<Y），表示需要计算f(X)+f(X+1)+……+f(Y)。

输出格式：

输出只有一行，为f(X)+f(X+1)+……+f(Y)的值。

输入输出样例

输入样例#1：

2 4

输出样例#1：

输入样例#2：

123 321

输出样例#2：

说明

对于20%的数据有1≤X＜Y≤10^5。

对于60%的数据有1≤X＜Y≤1*10^7。

对于100%的数据有1≤X＜Y≤2*10^9。

这题卡了好久，题目很简单很好理解，可推公式的确是件棘手的事

首先想到的方法是用前缀和的思想，ans [l~r]=ans[1~r] – ans[1~l-1]

求1~n的约数和，用的是这种方法：

1:1/2=0 ans=1

2:2/2=1 2/3=0 ans=1*2+2=4

3:3/2=1 3/3=1 3/4=0 ans=1*3+1*2+3=8

4:4/2=2 4/3=1 4/4=1 ans=2*2+1*3+1*4+4=15

原理很明显

n除以一个数a，的数就是1~n这些数中以a为因数的数的个数，再乘以a，就是一个因数和

最后加上n是由于n本身是n的因数

可是糟糕，这种方法会超时，只得了60分

60分代码

#include<iostream>
using namespace std;
long long l,r,al,ar;
long long work(long long a){
    long long result=0;
    for(long long i=2;i<=a;i++){
        if(a/i==0)break;
        result+=(a/i)*i;
    }
    result+=a;
    return result;
}
int main(){
    cin>>l>>r;
    al=work(l-1);
    ar=work(r);
    cout<<ar-al;
}

无计可施的我在这道题上崩溃了，心塞……

晚饭后，去找元元问这个题，才终于明白过来

这题思路是没毛病的，但是TLE的问题说明代码需要优化加速

用等差数列优化

首先根据之前的发现，以4为例，会发现4/3=1,4/4=1，同样的，在别的数字上也会出现类似的情况，而且数字越大，这种情况的出现越多，我把3,4分别叫做本例中情况的左右边界。而且不难发现这种情况的连续序列中因数都是等差的，差为一，所以可以直接利用等差数列求和

最后我发现，这个代码怎么写都丑。

等差数列求和公式

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long l,r;
long long work(long long x){
    long long result=0;
    long long d=1,b;//d是左边界,b是右边界 
    while(1){
        b=x/(x/d);
        long long some=x/d;
        result+=((b+d)*(b-d+1)/2)*some;
        d=b+1;
        if(x/d==0)break;
    }
    return result;
}
int main(){
    cin>>l>>r;
    long long al=work(l-1);
    long long ar=work(r);
    cout<<ar-al;
}