机器人学——1.2-三维空间位姿描述

三维情况实际上是之前讨论的二维情况的延伸。我们在二维坐标系上增加一个额外的坐标轴，通常用 $z$ 表示，它同时与 $x$ 轴和 $y$ 轴正交。$z$ 轴的方向服从右手规则，并构成右手坐标系。与各坐标轴平行的单位向量记作 $x$、$y$ 和 $z$
$ilde{z} = ilde{x} imes ilde{y} quad ilde{x} = ilde{y} imes ilde{z} quad ilde{y} = ilde{z} imes ilde{x}$
坐标系中的一个点 $P$ 可用其 $x$，$y$ 和 $z$ 的坐标值 $(x, y, z)$ 或者一个约束向量表示：
$p= ext{x} ilde{x}+ ext{y} ilde{y}+ ext{z} ilde{z}$
下图展示了一个相对于参考坐标系 ${A}$ 的坐标系 ${B}$ 。可以清楚地看到，${B}$ 的原点通过向量 $t=(x,y,z)$进行平移，然后再通过某种复杂方式进行了旋转。正如二维情况一样，我们如何表示坐标系之间的方向是非常重要的。

我们的做法还是从相对于每个坐标系的任意一点 $P$ 出发，然后再确定 $^AP$ 和 $^BP$ 之间的关系。我们仍然从两方面考虑：旋转和平移。

三维空间姿态描述

任何两个独立的正交坐标系都可以通过一系列（不超过3次）相对于坐标轴的旋转联系起来，但其中连续的两次旋转不能绕同一轴线。

——欧拉旋转定理

之前的图中显示了两个右手坐标系，其方向差异很大，我们如何相对于一个坐标系去表示另一个坐标系呢？可以想象一下，将坐标系 ${A}$ 拿在我们手里旋转，直到与坐标系 ${B}$ 方向一致。欧拉旋转定理指出，任何旋转都可以看作是由一系列相对不同坐标轴的旋转组合而成的。
　　首先考虑绕单个坐标轴的旋转。下图显示了一个右手坐标系，以及它绕不同坐标轴旋转不同角度的情形。

但绕坐标轴连续旋转就没那么简单了，其中存在一些微妙的变化。如下图所示，它演示了一个坐标系按不同的顺序旋转的情形。可以看到，虽然旋转角度相同，但最终得到的坐标系方向完全不同，它取决于旋转的顺序。这是三维世界里一个深奥且让人迷惑的特征，而且它曾困扰了数学家们很长一段时间。我们之前一直在讨论的位姿代数的意义就在于运算符 $oplus$ 是不可交换的，它体现了上述旋转顺序的重要性。下图中，在上面一排中坐标系先绕 $x$ 轴旋转 $pi/2$，然后绕 $y$ 轴旋转 $pi/2$。在下面一排旋转顺序正好颠倒了。两种旋转的结果明显不同。

数学家已经提炼出许多表示旋转的方法，我们之后会讨论其中几种：正交旋转矩阵，欧拉和卡尔丹角，旋转轴与角度，以及单位四元数。它们都可以表示为向量或矩阵，即MATLAB的自然数据类型，或者表示为机器人工具箱自定义的类。机器人工具箱中提供了许多函数可以将这些表示法相互转换，我们后面也会有介绍。