最小生成树的邻接矩阵实现

求上面这个图的最小生成树

参考文档 ：http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/30/2615542.html

1.prim算法

  基本思想：假设G＝(V，E)是连通的，TE是G上最小生成树中边的集合。算法从U＝{u0}（u0∈V）、TE＝{}开始。重复执行下列操作：

   在所有u∈U，v∈V－U的边(u，v)∈E中找一条权值最小的边(u0,v0)并入集合TE中，同时v0并入U，直到V＝U为止。

   此时，TE中必有n-1条边，T=(V，TE)为G的最小生成树。

   Prim算法的核心:始终保持TE中的边集构成一棵生成树。

注意：prim算法适合稠密图，其时间复杂度为O(n^2)，其时间复杂度与边得数目无关，而kruskal算法的时间复杂度为O(eloge)跟边的数目有关，适合稀疏图。

2、克鲁斯卡尔（Kruskal）算法（只与边相关）

算法描述：克鲁斯卡尔算法需要对图的边进行访问，所以克鲁斯卡尔算法的时间复杂度只和边又关系，可以证明其时间复杂度为O（eloge）。

算法过程：

1.将图各边按照权值进行排序

2.将图遍历一次，找出权值最小的边，（条件：此次找出的边不能和已加入最小生成树集合的边构成环），若符合条件，则加入最小生成树的集合中。不符合条件则继续遍历图，寻找下一个最小权值的边。

3.递归重复步骤1，直到找出n-1条边为止（设图有n个结点，则最小生成树的边数应为n-1条），算法结束。得到的就是此图的最小生成树。

克鲁斯卡尔（Kruskal）算法因为只与边相关，则适合求稀疏图的最小生成树。而prime算法因为只与顶点有关，所以适合求稠密图的最小生成树。

/*
 * 普里姆算法和克鲁斯卡尔算法求最小生成树
 * 采用邻接矩阵存储
 *
 */
#include<stdio.h>

#define MAX_VERTEX_NUM 20
//图的定义
typedef struct 
{
	int vertexNum;    //图的顶点个数
	int edgeNum;      //图的边的数目
	char vertex[MAX_VERTEX_NUM];  //图中顶点的内容
	int arc[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];  //图中顶点间的连通性
}Graph,*PGraph;

//辅助数组元素
typedef struct 
{
	int from;
	int to;
	int weight;
	int flag;
}ArrayNode; 

//构造无向网
void createdGraph(PGraph g)
{
	int i,j;
    g->vertexNum=6;
	g->edgeNum=10;
    for(i=0;i<g->vertexNum;i++)
		g->vertex[i]='A'+i;
	for(i=0;i<g->vertexNum;i++)
		for(j=0;j<g->vertexNum;j++)
            g->arc[i][j]=0;
	g->arc[0][1]=6;
	g->arc[0][2]=1;
	g->arc[0][3]=5;
	g->arc[1][0]=6;
	g->arc[1][2]=5;
	g->arc[1][4]=3;
	g->arc[2][0]=1;
	g->arc[2][1]=5;
	g->arc[2][3]=5;
	g->arc[2][4]=6;
	g->arc[2][5]=4;
	g->arc[3][0]=5;
	g->arc[3][2]=5;
	g->arc[3][5]=2;
	g->arc[4][1]=3;
	g->arc[4][2]=6;
	g->arc[4][5]=6;
	g->arc[5][2]=4;
	g->arc[5][3]=2;
	g->arc[5][4]=6;
}

//初始化最小生成树
void initTree(PGraph tree)
{
	int i,j;
    tree->vertexNum=6;
	tree->edgeNum=5;
	for(i=0;i<tree->vertexNum;i++)
		tree->vertex[i]='0';
	for(i=0;i<tree->vertexNum;i++)
		for(j=0;j<tree->vertexNum;j++)
            tree->arc[i][j]=0;
}

//普里姆算法求最小生成树
void prim(PGraph g,PGraph tree)
{
	int i,j,k;
	int index;  //指向权值最小的边
    ArrayNode  edgeArray[MAX_VERTEX_NUM*2]; //辅助数组 
	int length=0; //数组长度
	int n=1;  //统计数组已加入多少个顶点

	//初始状态把第一个顶点加入树中
	tree->vertex[0]='A';
	printf("%-3c",tree->vertex[0]);
    i=0;
    while(1){
    	//寻找与顶点i相接且这条边的另一个顶点不在树中的边,存入edgeArray数组中
		for(j=0;j<g->vertexNum;j++){
			if(g->arc[i][j] > 0){
				//判断这条边的另一个顶点在不在树中
				for(k=0;k<tree->vertexNum;k++){
					if(tree->vertex[k] == g->vertex[j])
						break;
				}
				if(k == tree->vertexNum){
                    edgeArray[length].from=i;
		            edgeArray[length].to=j;
	    			edgeArray[length].weight=g->arc[i][j];
                    edgeArray[length].flag=0;
		    		length++;
				}
			}
		}
		//从数组中选择权值最小的边
		index=-1;
		for(j=0;j<length;j++){
			if(index == -1 && edgeArray[j].flag == 0)
				index=j;
            if(edgeArray[j].flag==0 && edgeArray[j].weight < edgeArray[index].weight)
				index=j;
		}
		//在树中加入一个顶点，且把这条权值最小的边加入树中
		tree->vertex[edgeArray[index].to]='A'+edgeArray[index].to;
        edgeArray[index].flag=1;
		tree->arc[edgeArray[index].from][edgeArray[index].to]=edgeArray[index].weight;
		tree->arc[edgeArray[index].to][edgeArray[index].from]=edgeArray[index].weight;
		//当这个顶点加入树中时，与这个顶点相邻的边不可加入树中
		for(k=0;k<length;k++){
			if(edgeArray[k].to == edgeArray[index].to)
				edgeArray[k].flag=1;
		}
		i=edgeArray[index].to;
		printf("%-3c",tree->vertex[i]);
		n++;
		//当有g->vertexNum个顶点时，最小生成树构造完成
		if(n==g->vertexNum)
			break;
	}
}

//判断两个顶点是否连通（广度优先搜索）
int connected(PGraph tree,int from,int to)
{
	int i,j,k;
	int vertex[MAX_VERTEX_NUM];//看成队列
	int front,rear;
	if(from==to)
		return 1;
	front=rear=0;
	//把第一个顶点存入数组
	vertex[rear++]=from;
	//遍历tree
	while(front<=rear){
		i=vertex[front];
        for(j=0;j<tree->vertexNum;j++)
			if(tree->arc[i][j]>0){
				if(j==to)
					return 1;
				//判断此顶点是否在队列中
				for(k=0;k<rear;k++)
					if(vertex[k] == j)
						break;
				if(k==rear)
     			    vertex[rear++]=j;
			}
		front++;
	}
	return 0;
}

//克鲁斯卡尔算法求最小生成树
void kruskal(PGraph g,PGraph tree)
{
    ArrayNode  edgeArray[MAX_VERTEX_NUM]; //辅助数组 
	int length=0;
	int i,j,k,index,n;

	//顶点先加入树中
	for(i=0;i<tree->vertexNum;i++)
		tree->vertex[i]=i+'A';
	//1.把所有的边有序(从小到大)的插入edgeArray数组中
	for(i=0;i<g->vertexNum;i++)
		for(j=0;j<g->vertexNum;j++){
			if(i<j && g->arc[i][j]>0){
				//寻找插入的位置index
				for(k=0;k<length;k++){
                    if(edgeArray[k].weight > g->arc[i][j])
						break;
				}
				index=k;
                //移位
				for(k=length;k>index;k--)
                    edgeArray[k]=edgeArray[k-1];
				//插入
				length++;
				edgeArray[index].flag=0;
				edgeArray[index].from=i;
				edgeArray[index].to=j;
				edgeArray[index].weight=g->arc[i][j];
			}
		}
	//2.从小到大取出n-1条边构造最小生成树
	n=0;
	while(n < g->vertexNum-1){
		//从小到大取一条符合要求的边
		for(k=0;k<length;k++)
			if(edgeArray[k].flag==0 && connected(tree,edgeArray[k].from,edgeArray[k].to)==0){
				break;
			}
		//把这条边加入树中
		tree->arc[edgeArray[k].from][edgeArray[k].to]=edgeArray[k].weight;
		tree->arc[edgeArray[k].to][edgeArray[k].from]=edgeArray[k].weight;
        edgeArray[k].flag=1;
		printf("%-3d",edgeArray[k].weight);
		n++;
	}
}

void main()
{
	Graph graph;
	Graph tree;
	createdGraph(&graph);
	initTree(&tree);
	printf("普里姆算法树中顶点加入的顺序:
");
	prim(&graph,&tree);
	printf("
");
	initTree(&tree);
	printf("克鲁斯卡尔算法树中边加入的顺序:
");
	kruskal(&graph,&tree);
	printf("
");
}