解线性同余方程—欧几里德与扩展欧几里德算法

欧几里德算法

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。

基本算法：设a=qb+r，其中a，b，q，r都是整数，则gcd(a,b)=gcd(b,r)，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。

第一种证明：

     a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b

　　假设d是a,b的一个公约数，则有

　　d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r

　　因此d是(b,a mod b)的公约数

　　假设d 是(b,a mod b)的公约数，则

　　d | b , d |r ，但是a = kb +r

　　因此d也是(a,b)的公约数

　　因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证

第二种证明：

    要证欧几里德算法成立，即证: gcd(a,b)=gcd(b,r),其中 gcd是取最大公约数的意思，r=a mod b
    下面证 gcd（a，b）=gcd（b，r）
    设  c是a，b的最大公约数，即c=gcd（a，b），则有 a=mc，b=nc，其中m，n为正整数，且m，n互为质数
    由 r= a mod b可知，r= a- qb 其中，q是正整数，
    则 r=a-qb=mc-qnc=（m-qn）c
    b=nc,r=(m-qn)c，且n，（m-qn）互质

  （假设n，m-qn不互质，则n=xd, m-qn=yd 其中x,y,d都是正整数，且d>1
   则a=mc=(qx+y)dc, b=xdc,这时a,b 的最大公约数变成dc，与前提矛盾，所以n ，m-qn一定互质）
   则gcd（b,r）=c=gcd（a,b）
   得证。

 

算法的实现：

最简单的方法就是应用递归算法，代码如下：

int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0)
        return a;
    return 
        gcd(b,a%b);
}

int gcd(int a,int b)
{
    return b ? gcd(b,a%b) : a;
 }

扩展欧几里德算法

基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

证明：设 a>b。

　　1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

　　2，ab!=0 时

　　设 ax1+by1=gcd(a,b);

　　bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

　　根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

　　则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

　　即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

　　根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

     这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

　  上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

扩展欧几里德的递归代码：

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int r=exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return r;
}

扩展欧几里德非递归代码：

int exgcd(int m,int n,int &x,int &y)
{
    int x1,y1,x0,y0;
    x0=1; y0=0;
    x1=0; y1=1;
    x=0; y=1;
    int r=m%n;
    int q=(m-r)/n;
    while(r)
    {
        x=x0-q*x1; y=y0-q*y1;
        x0=x1; y0=y1;
        x1=x; y1=y;
        m=n; n=r; r=m%n;
        q=(m-r)/n;
    }
    return n;
}

扩展欧几里德算法的应用主要有以下三方面：

（1）求解不定方程；

（2）求解模线性方程（线性同余方程）；

（3）求解模的逆元；

 

（1）使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法：

  对于不定整数方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。

  上面已经列出找一个整数解的方法，在找到p * a+q * b = Gcd(p, q)的一组解p0,q0后，

   p * a+q * b = Gcd(p, q)的其他整数解满足：

   p = p0 + b/Gcd(p, q) * t 

  q = q0 - a/Gcd(p, q) * t(其中t为任意整数)
  至于pa+qb=c的整数解，只需将p * a+q * b = Gcd(p, q)的每个解乘上 c/Gcd(p, q) 即可。

  在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后，应该是得到p * a+q * b = c的一组解

  p1 = p0*(c/Gcd(a,b)),q1 = q0*(c/Gcd(a,b))，

  p * a+q * b = c的其他整数解满足：

  p = p1 + b/Gcd(a, b) * t

  q = q1 - a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数)

  p 、q就是p * a+q * b = c的所有整数解。

  相关证明可参考：http://www.cnblogs.com/void/archive/2011/04/18/2020357.html

 

  用扩展欧几里得算法解不定方程ax+by=c;

  代码如下：

bool linear_equation(int a,int b,int c,int &x,int &y)
{
    int d=exgcd(a,b,x,y);
    if(c%d)
        return false;
    int k=c/d;
    x*=k; y*=k;    //求得的只是其中一组解
    return true;
}

(2)用扩展欧几里德算法求解模线性方程的方法：

    同余方程 ax≡b (mod n)对于未知数 x 有解，当且仅当 gcd(a,n) | b。且方程有解时，方程有 gcd(a,n) 个解。

    求解方程 ax≡b (mod n) 相当于求解方程 ax+ ny= b, (x, y为整数)

    设 d= gcd(a,n)，假如整数 x 和 y，满足 d= ax+ ny(用扩展欧几里德得出)。

    如果 d| b，则方程a* x0+ n* y0= d， 方程两边乘以 b/ d，(因为 d|b，所以能够整除)，

    得到 a* x0* b/ d+ n* y0* b/ d= b。

    所以 x= x0* b/ d，y= y0* b/ d 为 ax+ ny= b 的一个解，所以 x= x0* b/ d 为 ax= b (mod n ) 的解。

    ax≡b (mod n)的一个解为 x0= x* (b/ d ) mod n，且方程的 d 个解分别为 xi= (x0+ i* (n/ d ))mod n {i= 0... d-1}。

    设ans=x*(b/d),s=n/d;

    方程ax≡b (mod n)的最小整数解为：(ans%s+s)%s;

    相关证明：

    证明方程有一解是: x0 = x'(b/d) mod n;

    由 a*x0 = a*x'(b/d) (mod n)

         a*x0 = d (b/d) (mod n)   (由于 ax' = d (mod n))
                 = b (mod n)

    证明方程有d个解: xi = x0 + i*(n/d)  (mod n);

    由 a*xi (mod n) = a * (x0 + i*(n/d)) (mod n)

                             = (a*x0+a*i*(n/d)) (mod n)

                             = a * x0 (mod n)                 (由于 d | a)

                             = b

首先看一个简单的例子：

5x=4(mod3)

解得x = 2,5,8,11,14.......

由此可以发现一个规律，就是解的间隔是3.

那么这个解的间隔是怎么决定的呢？

如果可以设法找到第一个解，并且求出解之间的间隔，那么就可以求出模的线性方程的解集了.

我们设解之间的间隔为dx.

那么有

a*x = b(mod n);

a*(x+dx) = b(mod n);

两式相减，得到:

a*dx(mod n)= 0;

也就是说a*dx就是a的倍数，同时也是n的倍数，即a*dx是a 和 n的公倍数.为了求出dx,我们应该求出a 和 n的最小公倍数,此时对应的dx是最小的.

设a 和 n的最大公约数为d,那么a 和 n 的最小公倍数为(a*n)/d.

即a*dx = a*n/d;

所以dx = n/d.

因此解之间的间隔就求出来了.

代码如下：

bool modular_linear_equation(int a,int b,int n)
{
    int x,y,x0,i;
    int d=exgcd(a,n,x,y);
    if(b%d)
        return false;
    x0=x*(b/d)%n;   //特解
    for(i=1;i<d;i++)
        printf("%d
",(x0+i*(n/d))%n);
    return true;
}

（3）用欧几里德算法求模的逆元：

       同余方程ax≡b (mod n)，如果 gcd(a,n)== 1，则方程只有唯一解。

      在这种情况下，如果 b== 1，同余方程就是 ax=1 (mod n ),gcd(a,n)= 1。

      这时称求出的 x 为 a 的对模 n 乘法的逆元。

      对于同余方程 ax= 1(mod n )， gcd(a,n)= 1 的求解就是求解方程

      ax+ ny= 1，x, y 为整数。这个可用扩展欧几里德算法求出，原同余方程的唯一解就是用扩展欧几里德算法得出的 x 。

来源：http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html

中国剩余定理 

前置技能

扩展欧几里得算法: 
求出形似 

a⋅x+b⋅y=1gcd(a,b)=1

也即 

a⋅x+b⋅y=gcd(a,b)

的一组解 x,y

---

问题模型

对 x 满足以下模方程

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪xmodxmodxmodxmodp1=a1p2=a2p2=a3⋮pm=amp1,p2,…,pm互质

求最小的

xmod(p1⋅p2⋅p3⋯pm)

---

解决方案

1> 我们先解决 m=2 的情况

{xmodp1xmodp2=a1=a2

求

xmod(p1⋅p2)

的值

我们设两个中间变量r,s,并将式子改变为

{x+r⋅p1x+s⋅p2=a1=a2

则

r⋅p1−s⋅p2=a1−a2

我们再设另外两个中间变量 r′,s′满足

{rs=r′⋅(a1−a2)=−s′⋅(a1−a2)

则上式变为

r′⋅p1+s′⋅p2=1

此时,我们可以就通过扩展欧几里得求得r′,s′了 
回带即可得到一个xmod(p1⋅p2) 的值了

2> 多个式子的合并

我们注意到两个式子合并为了一个方程

xmod(p1⋅p2)=b

这个方程的形式与其他方程的形式相同,并且模数互质,所以我们可以对这些方程两两合并

/****************************************
* Title  : [cogs] 1786. 韩信点兵
****************************************/
#include <cstdio>
#define Rep(i,l,r) for(i=(l);i<=(r);i++)
#define Rev(i,r,l) for(i=(r);i>=(l);i--)
#define rep(i,l,r) for(i=(l);i< (r);i++)
#define rev(i,r,l) for(i=(r);i> (l);i--)
typedef long long ll ;
typedef double lf ;
typedef long double llf ;
typedef unsigned uint ;
typedef unsigned long long ull ;
#define  Getchar()  getchar()
int CH , NEG ;
template <typename TP>
inline void read(TP& ret)
{
    ret = NEG = 0 ; while (CH=Getchar() , CH<'!') ;
    if (CH == '-') NEG = true , CH = Getchar() ;
    while (ret = ret*10+CH-'0' , CH=Getchar() , CH>'!') ;
    if (NEG) ret = -ret ;
}
template <typename TP>
inline void readc(TP& ret)
{
    while (ret=Getchar() , ret<'!') ;
    while (CH=Getchar() , CH>'!') ;
}
template <typename TP>
inline void reads(TP *ret)
{
    ret[0]=0;while (CH=Getchar() , CH<'!') ;
    while (ret[++ret[0]]=CH,CH=Getchar(),CH>'!') ;
    ret[ret[0]+1] = 0 ;
}

#define  maxm  11LL
#define  abss(x)  ((x)<0?-(x):(x))

ll tmp ;
inline void exgcd(ll a, ll b, ll&x, ll&y)
{
    if (b) exgcd(b,a%b,x,y) , tmp = x , x = y , y = tmp-a/b*y ;
    else x = 1 , y = 0 ;
}

inline ll mul(ll a,ll b,ll module)
{
    ll ret = a*b-((ll)((llf)a*b/(llf)module+1E-3))*module ;
    return (ret+module)%module ;
}

ll p[maxm] , a[maxm] ;

int main()
{
	int i , m ;
	ll n , x , y , module ;
    #define READ
    #ifdef  READ
        freopen("HanXin.in" ,"r",stdin ) ;
        freopen("HanXin.out","w",stdout) ;
    #endif
    read(n) , read(m) ;
    read(p[1]) , read(a[1]) ;
    module = p[1] ;
    Rep (i,2,m) {
        read(p[i]) , read(a[i]) ;
        exgcd(module,p[i],x,y) ;
        if (y < 0) y += module ;
        module *= p[i] ;
        y = mul(y,abss(a[i]-a[i-1]),module) ;
        a[i] = (a[i]-mul(abss(y),p[i],module)) % module ;
    }
    ll ans = n-a[m]-(n-a[m])/module*module ;
    if (ans > n) puts("-1") ;
    else printf("%lld
", ans) ;
    #ifdef  READ
        fclose(stdin) ; fclose(stdout) ;
    #else
        Getchar() ; Getchar() ;
    #endif
    return 0 ;
}