as+bt=1是ab两数互质的充要条件

【as+bt=1是ab两数互质的充要条件】

　充分性，as+bt=1 => (a,b)=1：

　　　因为as+bt=1,设c=(a,b),则c整除a和b,所以c整除as+bt,即c整除1,所以c=1,即a和b互质

　必要性，(a,b)=1 => ab+bt=1：

　　　考虑非空集合A={as+bt│s,t为任意整数},不妨设a0是A中最小正整数且a0=as0+bt0,y是A中任意一个元素，

　　　由带余除法 y=as+bt=q(as0+bt0)+r,0<=r<a0,则r=a(s-qs0)+b(t-qt0)属于A，若r非零则r是A中比a0更小之正整数，矛盾，所以r=0，从而a0整除y。

　　　因为a0整除y，所以 (as+bt)/a0 = q。＝> as/a0+bt/a0 = q。s、t为任意值，而q必然为整数，则as/a0、bt/a0必须是整数。则有a0整除a,a0整除b,所以a0整除(a,b)=1,因此a0=1,所以存在整数s0和t0使得as0+bt0=1

【贝祖定理（裴蜀定理）】

ax+by=m

　　有整数解时当且仅当m是d的倍数。d是(a,b)。裴蜀等式有解时必然有无穷多个整数解，每组解 $x$ 、 $y$ 都称为裴蜀数。在前部分证明的基础上，

　　对 $a$ 和 $b$ 的任意正公约数 $d$ ，设 $a=kd$ 、 $b=ld$ ，那么

d_0 =x_0a + y_0b = ( x_0k + y_0l )d

　　因此 $d | d_0$ 。所以 $d_0$ 是 $a$ 和 $b$ 的最大公约数。