拓端数据tecdat|R语言MCMC:Metropolis-Hastings采样用于回归的贝叶斯估计

原文链接：http://tecdat.cn/?p=19664 

MCMC是从复杂概率模型中采样的通用技术。

1. 蒙特卡洛

2. 马尔可夫链

3. Metropolis-Hastings算法

问题

如果需要计算有复杂后验pdf p（θ| y）的随机变量θ的函数f（θ）的平均值或期望值。

您可能需要计算后验概率分布p（θ）的最大值。

解决期望值的一种方法是从p（θ）绘制N个随机样本，当N足够大时，我们可以通过以下公式逼近期望值或最大值

将相同的策略应用于通过从p（θ| y）采样并取样本集中的最大值来找到argmaxp（θ| y）。

---

解决方法

1.1直接模拟

1.2逆CDF

1.3拒绝/接受抽样

如果我们不知道精确/标准化的pdf或非常复杂，则MCMC会派上用场。

---

马尔可夫链

为了模拟马尔可夫链，我们必须制定一个 过渡核T（xi，xj）。过渡核是从状态xi迁移到状态xj的概率。

 马尔可夫链的收敛性意味着它具有平稳分布π。马尔可夫链的统计分布是平稳的,那么它意味着分布不会随着时间的推移而改变。

Metropolis算法

 对于一个Markov链是平稳的。基本上表示

处于状态x并转换为状态x'的概率必须等于处于状态x'并转换为状态x的概率

或者

方法是将转换分为两个子步骤；候选和接受拒绝。

令q（x'| x）表示 候选密度，我们可以使用概率 α（x'| x）来调整q  。

候选分布 Q（X'| X）是给定的候选X的状态X'的条件概率，

和 接受分布 α（x'| x）的条件概率接受候选的状态X'-X'。我们设计了接受概率函数，以满足详细的平衡。

该 转移概率 可以写成：

插入上一个方程式，我们有

Metropolis-Hastings算法 

A的选择遵循以下逻辑。

在q下从x到x'的转移太频繁了。因此，我们应该选择α（x | x'）=1。但是，为了满足 细致平稳，我们有

下一步是选择满足上述条件的接受。Metropolis-Hastings是一种常见的 选择：

即，当接受度大于1时，我们总是接受，而当接受度小于1时，我们将相应地拒绝。因此，Metropolis-Hastings算法包含以下内容：

1. 初始化：随机选择一个初始状态x；

2. 根据q（x'| x）随机选择一个新状态x';

3.接受根据α（x'| x）的状态。如果不接受，则不会进行转移，因此无需更新任何内容。否则，转移为x'；

4.转移到2，直到生成T状态；

5.保存状态x，执行2。

原则上，我们从分布P（x）提取保存的状态，因为步骤4保证它们是不相关的。必须根据候选分布等不同因素来选择T的值。 重要的是，尚不清楚应该使用哪种分布q（x'| x）；必须针对当前的特定问题进行调整。

---

属性

Metropolis-Hastings算法的一个有趣特性是它 仅取决于比率

是候选样本x'与先前样本xt之间的概率，

是两个方向（从xt到x'，反之亦然）的候选密度之比。如果候选密度对称，则等于1。

马尔可夫链从任意初始值x0开始，并且算法运行多次迭代，直到“初始状态”被“忘记”为止。这些被丢弃的样本称为预烧（burn-in）。其余的x可接受值集代表分布P（x）中的样本

 

---

Metropolis采样

一个简单的Metropolis-Hastings采样

让我们看看从 伽玛分布 模拟任意形状和比例参数，使用具有Metropolis-Hastings采样算法。

下面给出了Metropolis-Hastings采样器的函数。该链初始化为零，并在每个阶段都建议使用N（a / b，a /（b * b））个候选对象。

基于正态分布且均值和方差相同gamma的Metropolis-Hastings独立采样

1. 从某种状态开始xt。代码中的x。
2. 在代码中提出一个新的状态x'候选
3. 计算“接受概率”

   

4. 从[0,1] 得出一些均匀分布的随机数u；如果u <α接受该点，则设置xt + 1 = x'。否则，拒绝它并设置xt + 1 = xt。

MH可视化

1.  
   set.seed(123)
2.  
    
3.  
   for (i in 2:n) {
4.  
   can <- rnorm(1, mu, sig)
5.  
   aprob <- min(1, (dgamma(can, a, b)/dgamma(x,
6.  
   a, b))/(dnorm(can, mu, sig)/dnorm(x,
7.  
   mu, sig)))
8.  
   u <- runif(1)
9.  
   if (u < aprob)
10.  
    x <- can
11.  
    vec[i] <- x

---

画图

设置参数。

1.  
   nrep<- 54000
2.  
   burnin<- 4000
3.  
   shape<- 2.5
4.  
   rate<-2.6

修改图，仅包含预烧期后的链

1.  
   vec=vec[-(1:burnin)]
2.  
   #vec=vec[burnin:length(vec)]

1.  
   par(mfrow=c(2,1)) # 更改主框架，在一帧中有多少个图形
2.  
   plot(ts(vec), xlab="Chain", ylab="Draws")
3.  
   abline(h = mean(vec), lwd="2", col="red" )

---

 

1.  
   Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
2.  
   0.007013 0.435600 0.724800 0.843300 1.133000 3.149000

var(vec[-(1:burnin)])

[1] 0.2976507

初始值

第一个样本 vec 是我们链的初始/起始值。我们可以更改它，以查看收敛是否发生了变化。

1.  
   x <- 3*a/b
2.  
   vec[1] <- x

---

选择方案

如果候选密度与目标分布P（x）的形状匹配，即q（x'| xt）≈P（x'）q（x'|），则该算法效果最佳。 xt）≈P（x'）。如果使用正态候选密度q，则在预烧期间必须调整方差参数σ2。

通常，这是通过计算接受率来完成的，接受率是在最后N个样本的窗口中接受的候选样本的比例。

如果σ2太大，则接受率将非常低，因为候选可能落在概率密度低得多的区域中，因此a1将非常小，且链将收敛得非常慢。

---

示例2：回归的贝叶斯估计

Metropolis-Hastings采样用于贝叶斯估计回归模型。

---

设定参数

---

DGP和图

1.  
   # 创建独立的x值，大约为零
2.  
   x <- (-(Size-1)/2):((Size-1)/2)
3.  
   # 根据ax + b + N（0，sd）创建相关值
4.  
   y <- trueA * x + trueB + rnorm(n=Size,mean=0,sd=trueSd)

---

正态分布拟然

1.  
    
2.  
   pred = a*x + b
3.  
   singlelikelihoods = dnorm(y, mean = pred, sd = sd, log = T)
4.  
   sumll = sum(singlelikelihoods)

---

为什么使用对数

似然函数中概率的对数，这也是我求和所有数据点的概率（乘积的对数等于对数之和）的原因。

我们为什么要做这个？强烈建议这样做，因为许多小概率相乘的概率会变得很小。在某个阶段，计算机程序会陷入数值四舍五入或下溢问题。

因此， 当您编写概率时，请始终使用对数

---

示例：绘制斜率a的似然曲线

1.  
   # 示例：绘制斜率a的似然曲线
2.  
   plot (seq(3, 7, by=.05), slopelikelihoods , type="l")

---

先验分布

这三个参数的均匀分布和正态分布。

1.  
   # 先验分布
2.  
    
3.  
   # 更改优先级，log为True，因此这些均为log
4.  
   density/likelihood
5.  
   aprior = dunif(a, min=0, max=10, log = T)
6.  
   bprior = dnorm(b, sd = 2, log = T)
7.  
   sdprior = dunif(sd, min=0, max=30, log = T)

---

后验

先验和概率的乘积是MCMC将要处理的实际量。此函数称为后验函数。同样，这里我们使用和，因为我们使用对数。

1.  
   posterior <- function(param){
2.  
   return (likelihood(param) + prior(param))
3.  
   }

---

Metropolis算法

该算法是从 后验密度中采样最常见的贝叶斯统计应用之一 。

上面定义的后验。

1. 从随机参数值开始

2. 根据某个候选函数的概率密度，选择一个接近旧值的新参数值

3. 以概率p（new）/ p（old）跳到这个新点，其中p是目标函数，并且p> 1也意味着跳跃

4. 请注意，我们有一个 对称的跳跃/候选分布 q（x'| x）。

标准差σ是固定的。

所以接受概率等于

1.  
   ######## Metropolis 算法 ################
2.  
    
3.  
    
4.  
   for (i in 1:iterations){
5.  
    
6.  
   probab = exp(posterior(proposal) - posterior(chain[i,]))
7.  
   if (runif(1) < probab){
8.  
   chain[i+1,] = proposal
9.  
   }else{
10.  
    chain[i+1,] = chain[i,]
11.  
    }

实施

（e）输出接受的值，并解释。

1.  
    
2.  
   chain = metrMCMC(startvalue, 5500)
3.  
    
4.  
   burnIn = 5000
5.  
   accep = 1-mean(duplicated(chain[-(1:burnIn),]))

算法的第一步可能会因初始值而有偏差，因此通常会被丢弃来进行进一步分析（预烧期）。令人感兴趣的输出是接受率：候选多久被算法接受拒绝一次？候选函数会影响接受率：通常，候选越接近，接受率就越大。但是，非常高的接受率通常是无益的：这意味着算法在同一点上“停留”，这导致对参数空间（混合）的处理不够理想。

我们还可以更改初始值，以查看其是否更改结果/是否收敛。

startvalue = c(4,0,10)

---

小结

1.  
   V1 V2 V3
2.  
   Min. :4.068 Min. :-6.7072 Min. : 6.787
3.  
   1st Qu.:4.913 1st Qu.:-2.6973 1st Qu.: 9.323
4.  
   Median :5.052 Median :-1.7551 Median :10.178
5.  
   Mean :5.052 Mean :-1.7377 Mean :10.385
6.  
   3rd Qu.:5.193 3rd Qu.:-0.8134 3rd Qu.:11.166
7.  
   Max. :5.989 Max. : 4.8425 Max. :19.223

1.  
   #比较:
2.  
   summary(lm(y~x))

1.  
    
2.  
   Call:
3.  
   lm(formula = y ~ x)
4.  
    
5.  
   Residuals:
6.  
   Min 1Q Median 3Q Max
7.  
   -22.259 -6.032 -1.718 6.955 19.892
8.  
    
9.  
   Coefficients:
10.  
    Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
11.  
    (Intercept) -3.1756 1.7566 -1.808 0.081 .
12.  
    x 5.0469 0.1964 25.697 <2e-16 ***
13.  
    ---
14.  
    Signif. codes: 0 ?**?0.001 ?*?0.01 ??0.05 ??0.1 ??1
15.  
     
16.  
    Residual standard error: 9.78 on 29 degrees of freedom
17.  
    Multiple R-squared: 0.9579, Adjusted R-squared: 0.9565
18.  
    F-statistic: 660.4 on 1 and 29 DF, p-value: < 2.2e-16

summary(lm(y~x))$sigma

[1] 9.780494

coefficients(lm(y~x))[1]

1.  
   (Intercept)
2.  
   -3.175555

coefficients(lm(y~x))[2]

1.  
   x
2.  
   5.046873

---

总结：

1.  
   ### 总结: #######################
2.  
    
3.  
   par(mfrow = c(2,3))
4.  
   hist(chain[-(1:burnIn),1],prob=TRUE,nclass=30,col="109"
5.  
   abline(v = mean(chain[-(1:burnIn),1]), lwd="2")

---

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