拓端数据tecdat|R语言股票市场指数：ARMA-GARCH模型和对数收益率数据探索性分析

原文链接：http://tecdat.cn/?p=19469 

本文将分析工业指数（DJIA）。工业指数（DIJA）是一个股市指数，表明30家大型上市公司的价值。工业指数（DIJA）的价值基于每个组成公司的每股股票价格之和。

本文将尝试回答的主要问题是：

  • 这些年来收益率和交易量如何变化？
  • 这些年来，收益率和交易量的波动如何变化？
  • 我们如何建模收益率波动？
  • 我们如何模拟交易量的波动？

为此，本文按以下内容划分：

第1部分： 获取每日和每周对数收益的 数据，摘要和图
第2部分：获取每日交易量及其对数比率的数据，摘要和图
第3部分： 每日对数收益率分析和GARCH模型定义
第4部分： 每日交易量分析和GARCH模型定义

 

获取数据

利用quantmod软件包中提供的getSymbols（）函数，我们可以获得2007年至2018年底的工业平均指数。

  1.  
     
  2.  
    getSymbols("^DJI", from = "2007-01-01", to = "2019-01-01")
  3.  
     
  4.  
     
  5.  
    dim(DJI)
  6.  
     
  7.  
    ## [1] 3020 6
  8.  
    class(DJI)
  9.  
     
  10.  
    ## [1] "xts" "zoo"

让我们看一下DJI xts对象，它提供了六个时间序列，我们可以看到。

  1.  
     
  2.  
    head(DJI)
  3.  
     
  4.  
    ## DJI.Open DJI.High DJI.Low DJI.Close DJI.Volume DJI.Adjusted
  5.  
    ## 2007-01-03 12459.54 12580.35 12404.82 12474.52 327200000 12474.52
  6.  
    ## 2007-01-04 12473.16 12510.41 12403.86 12480.69 259060000 12480.69
  7.  
    ## 2007-01-05 12480.05 12480.13 12365.41 12398.01 235220000 12398.01
  8.  
    ## 2007-01-08 12392.01 12445.92 12337.37 12423.49 223500000 12423.49
  9.  
    ## 2007-01-09 12424.77 12466.43 12369.17 12416.60 225190000 12416.60
  10.  
    ## 2007-01-10 12417.00 12451.61 12355.63 12442.16 226570000 12442.16
  11.  
    tail(DJI)
  12.  
     
  13.  
    ## DJI.Open DJI.High DJI.Low DJI.Close DJI.Volume DJI.Adjusted
  14.  
    ## 2018-12-21 22871.74 23254.59 22396.34 22445.37 900510000 22445.37
  15.  
    ## 2018-12-24 22317.28 22339.87 21792.20 21792.20 308420000 21792.20
  16.  
    ## 2018-12-26 21857.73 22878.92 21712.53 22878.45 433080000 22878.45
  17.  
    ## 2018-12-27 22629.06 23138.89 22267.42 23138.82 407940000 23138.82
  18.  
    ## 2018-12-28 23213.61 23381.88 22981.33 23062.40 336510000 23062.40
  19.  
    ## 2018-12-31 23153.94 23333.18 23118.30 23327.46 288830000 23327.46

更准确地说，我们有可用的OHLC（开盘，高，低，收盘）指数值，调整后的收盘价和交易量。在这里，我们可以看到生成的相应图表。

我们在此分析调整后的收盘价。

DJI[,"DJI.Adjusted"]

简单对数收益率

简单的收益定义为：

对数收益率定义为：

我们计算对数收益率。

CalculateReturns(dj_close, method = "log")

让我们看看。

  1.  
     
  2.  
    head(dj_ret)
  3.  
     
  4.  
    ## DJI.Adjusted
  5.  
    ## 2007-01-04 0.0004945580
  6.  
    ## 2007-01-05 -0.0066467273
  7.  
    ## 2007-01-08 0.0020530973
  8.  
    ## 2007-01-09 -0.0005547987
  9.  
    ## 2007-01-10 0.0020564627
  10.  
    ## 2007-01-11 0.0058356461
  11.  
    tail(dj_ret)
  12.  
     
  13.  
    ## DJI.Adjusted
  14.  
    ## 2018-12-21 -0.018286825
  15.  
    ## 2018-12-24 -0.029532247
  16.  
    ## 2018-12-26 0.048643314
  17.  
    ## 2018-12-27 0.011316355
  18.  
    ## 2018-12-28 -0.003308137
  19.  
    ## 2018-12-31 0.011427645

给出了下面的图。

可以看到波动率的急剧上升和下降。第3部分将对此进行深入验证。

辅助函数

我们需要一些辅助函数来简化一些基本的数据转换，摘要和绘图。

1.从xts转换为带有year and value列的数据框。这样就可以进行年度总结和绘制。

  1.  
     
  2.  
    df_t <- data.frame(year = factor(year(index(data_xts))), value = coredata(data_xts))
  3.  
    colnames(df_t) <- c( "year", "value")
  4.  
     

2.摘要统计信息，用于存储为数据框列的数据。

  1.  
    rownames(basicStats(rnorm(10,0,1))) # 基本统计数据输出行名称
  2.  
    with(dataset, tapply(value, year, basicStats))

3.返回关联的列名。

  1.  
     
  2.  
    colnames(basicstats[r, which(basicstats[r,] > threshold), drop = FALSE])

4.基于年的面板箱线图。

  1.  
     
  2.  
    p <- ggplot(data = data, aes(x = year, y = value)) + theme_bw() + theme(legend.position = "none") + geom_boxplot(fill = "blue")

5.密度图，以年份为基准。

  1.  
     
  2.  
    p <- ggplot(data = data, aes(x = value)) + geom_density(fill = "lightblue")
  3.  
    p <- p + facet_wrap(. ~ year)
  4.  
     

6.基于年份的QQ图。

  1.  
     
  2.  
    p <- ggplot(data = dataset, aes(sample = value)) + stat_qq(colour = "blue") + stat_qq_line()
  3.  
    p <- p + facet_wrap(. ~ year)
  4.  
     

7. Shapiro检验

  1.  
    pvalue <- function (v) {
  2.  
    shapiro.test(v)$p.value
  3.  
    }

每日对数收益率探索性分析

我们将原始的时间序列转换为具有年和值列的数据框。这样可以按年简化绘图和摘要。

  1.  
     
  2.  
    head(ret_df)
  3.  
     
  4.  
    ## year value
  5.  
    ## 1 2007 0.0004945580
  6.  
    ## 2 2007 -0.0066467273
  7.  
    ## 3 2007 0.0020530973
  8.  
    ## 4 2007 -0.0005547987
  9.  
    ## 5 2007 0.0020564627
  10.  
    ## 6 2007 0.0058356461
  11.  
    tail(ret_df)
  12.  
     
  13.  
    ## year value
  14.  
    ## 3014 2018 -0.018286825
  15.  
    ## 3015 2018 -0.029532247
  16.  
    ## 3016 2018 0.048643314
  17.  
    ## 3017 2018 0.011316355
  18.  
    ## 3018 2018 -0.003308137
  19.  
    ## 3019 2018 0.011427645

基本统计摘要

给出了基本统计摘要。

  1.  
     
  2.  
     
  3.  
    ## 2007 2008 2009 2010 2011
  4.  
    ## nobs 250.000000 253.000000 252.000000 252.000000 252.000000
  5.  
    ## NAs 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
  6.  
    ## Minimum -0.033488 -0.082005 -0.047286 -0.036700 -0.057061
  7.  
    ## Maximum 0.025223 0.105083 0.066116 0.038247 0.041533
  8.  
    ## 1. Quartile -0.003802 -0.012993 -0.006897 -0.003853 -0.006193
  9.  
    ## 3. Quartile 0.005230 0.007843 0.008248 0.004457 0.006531
  10.  
    ## Mean 0.000246 -0.001633 0.000684 0.000415 0.000214
  11.  
    ## Median 0.001098 -0.000890 0.001082 0.000681 0.000941
  12.  
    ## Sum 0.061427 -0.413050 0.172434 0.104565 0.053810
  13.  
    ## SE Mean 0.000582 0.001497 0.000960 0.000641 0.000837
  14.  
    ## LCL Mean -0.000900 -0.004580 -0.001207 -0.000848 -0.001434
  15.  
    ## UCL Mean 0.001391 0.001315 0.002575 0.001678 0.001861
  16.  
    ## Variance 0.000085 0.000567 0.000232 0.000104 0.000176
  17.  
    ## Stdev 0.009197 0.023808 0.015242 0.010182 0.013283
  18.  
    ## Skewness -0.613828 0.224042 0.070840 -0.174816 -0.526083
  19.  
    ## Kurtosis 1.525069 3.670796 2.074240 2.055407 2.453822
  20.  
    ## 2012 2013 2014 2015 2016
  21.  
    ## nobs 250.000000 252.000000 252.000000 252.000000 252.000000
  22.  
    ## NAs 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
  23.  
    ## Minimum -0.023910 -0.023695 -0.020988 -0.036402 -0.034473
  24.  
    ## Maximum 0.023376 0.023263 0.023982 0.038755 0.024384
  25.  
    ## 1. Quartile -0.003896 -0.002812 -0.002621 -0.005283 -0.002845
  26.  
    ## 3. Quartile 0.004924 0.004750 0.004230 0.005801 0.004311
  27.  
    ## Mean 0.000280 0.000933 0.000288 -0.000090 0.000500
  28.  
    ## Median -0.000122 0.001158 0.000728 -0.000211 0.000738
  29.  
    ## Sum 0.070054 0.235068 0.072498 -0.022586 0.125884
  30.  
    ## SE Mean 0.000470 0.000403 0.000432 0.000613 0.000501
  31.  
    ## LCL Mean -0.000645 0.000139 -0.000564 -0.001298 -0.000487
  32.  
    ## UCL Mean 0.001206 0.001727 0.001139 0.001118 0.001486
  33.  
    ## Variance 0.000055 0.000041 0.000047 0.000095 0.000063
  34.  
    ## Stdev 0.007429 0.006399 0.006861 0.009738 0.007951
  35.  
    ## Skewness 0.027235 -0.199407 -0.332766 -0.127788 -0.449311
  36.  
    ## Kurtosis 0.842890 1.275821 1.073234 1.394268 2.079671
  37.  
    ## 2017 2018
  38.  
    ## nobs 251.000000 251.000000
  39.  
    ## NAs 0.000000 0.000000
  40.  
    ## Minimum -0.017930 -0.047143
  41.  
    ## Maximum 0.014468 0.048643
  42.  
    ## 1. Quartile -0.001404 -0.005017
  43.  
    ## 3. Quartile 0.003054 0.005895
  44.  
    ## Mean 0.000892 -0.000231
  45.  
    ## Median 0.000655 0.000695
  46.  
    ## Sum 0.223790 -0.057950
  47.  
    ## SE Mean 0.000263 0.000714
  48.  
    ## LCL Mean 0.000373 -0.001637
  49.  
    ## UCL Mean 0.001410 0.001175
  50.  
    ## Variance 0.000017 0.000128
  51.  
    ## Stdev 0.004172 0.011313
  52.  
    ## Skewness -0.189808 -0.522618
  53.  
    ## Kurtosis 2.244076 2.802996

在下文中，我们对上述一些相关指标进行了具体评论。

平均值

每日对数收益率具有正平均值的年份是：

  1.  
     
  2.  
    filter_stats(stats, "Mean", 0)
  3.  
     
  4.  
    ## [1] "2007" "2009" "2010" "2011" "2012" "2013" "2014" "2016" "2017"

按升序排列。

  1.  
     
  2.  
     
  3.  
    ## 2008 2018 2015 2011 2007 2012 2014
  4.  
    ## Mean -0.001633 -0.000231 -9e-05 0.000214 0.000246 0.00028 0.000288
  5.  
    ## 2010 2016 2009 2017 2013
  6.  
    ## Mean 0.000415 5e-04 0.000684 0.000892 0.000933

中位数

正中位数是：

  1.  
     
  2.  
    filter_stats(dj_stats, "Median", 0)
  3.  
     
  4.  
    ## [1] "2007" "2009" "2010" "2011" "2013" "2014" "2016" "2017" "2018"

以升序排列。

  1.  
     
  2.  
     
  3.  
    ## 2008 2015 2012 2017 2010 2018 2014
  4.  
    ## Median -0.00089 -0.000211 -0.000122 0.000655 0.000681 0.000695 0.000728
  5.  
    ## 2016 2011 2009 2007 2013
  6.  
    ## Median 0.000738 0.000941 0.001082 0.001098 0.001158

偏度

偏度（Skewness）可以用来度量随机变量概率分布的不对称性。

公式：

其中  是均值，  是标准差。

几何意义：

偏度的取值范围为(-∞,+∞)

当偏度<0时，概率分布图左偏（也叫负偏分布，其偏度<0）。

当偏度=0时，表示数据相对均匀的分布在平均值两侧，不一定是绝对的对称分布。

当偏度>0时，概率分布图右偏（也叫正偏分布，其偏度>0）。

例如上图中，左图形状左偏，右图形状右偏。

每日对数收益出现正偏的年份是：

  1.  
     
  2.  
     
  3.  
    ## [1] "2008" "2009" "2012"

按升序返回对数偏度。

  1.  
     
  2.  
    stats["Skewness",order(stats["Skewness",
  3.  
     
  4.  
    ## 2007 2011 2018 2016 2014 2013
  5.  
    ## Skewness -0.613828 -0.526083 -0.522618 -0.449311 -0.332766 -0.199407
  6.  
    ## 2017 2010 2015 2012 2009 2008
  7.  
    ## Skewness -0.189808 -0.174816 -0.127788 0.027235 0.07084 0.224042

 

峰度

峰度（Kurtosis）可以用来度量随机变量概率分布的陡峭程度。

公式：

其中  是均值，  是标准差。

几何意义：

峰度的取值范围为[1,+∞)，完全服从正态分布的数据的峰度值为 3，峰度值越大，概率分布图越高尖，峰度值越小，越矮胖。

 

例如上图中，左图是标准正太分布，峰度=3，右图的峰度=4，可以看到右图比左图更高尖。

通常我们将峰度值减去3，也被称为超值峰度（Excess Kurtosis），这样正态分布的峰度值等于0，当峰度值>0，则表示该数据分布与正态分布相比较为高尖，当峰度值<0，则表示该数据分布与正态分布相比较为矮胖。

每日对数收益出现超值峰度的年份是：

  1.  
     
  2.  
     
  3.  
    ## [1] "2007" "2008" "2009" "2010" "2011" "2012" "2013" "2014" "2015" "2016"
  4.  
    ## [11] "2017" "2018"

按升序返回超值峰度。

  1.  
     
  2.  
     
  3.  
    ## 2012 2014 2013 2015 2007 2010 2009
  4.  
    ## Kurtosis 0.84289 1.073234 1.275821 1.394268 1.525069 2.055407 2.07424
  5.  
    ## 2016 2017 2011 2018 2008
  6.  
    ## Kurtosis 2.079671 2.244076 2.453822 2.802996 3.670796

2018年的峰度最接近2008年。

箱形图

我们可以看到2008年出现了最极端的值。从2009年开始，除了2011年和2015年以外，其他所有值的范围都变窄了。但是，与2017年和2018年相比，产生极端值的趋势明显改善。

密度图

densityplot(ret_df)

2007年具有显着的负偏。2008年的特点是平坦。2017年的峰值与2018年的平坦度和左偏一致。

shapiro检验

  1.  
    shapirot(ret_df)
  2.  
     
  3.  
    ## result
  4.  
    ## 2007 5.989576e-07
  5.  
    ## 2008 5.782666e-09
  6.  
    ## 2009 1.827967e-05
  7.  
    ## 2010 3.897345e-07
  8.  
    ## 2011 5.494349e-07
  9.  
    ## 2012 1.790685e-02
  10.  
    ## 2013 8.102500e-03
  11.  
    ## 2014 1.750036e-04
  12.  
    ## 2015 5.531137e-03
  13.  
    ## 2016 1.511435e-06
  14.  
    ## 2017 3.304529e-05
  15.  
    ## 2018 1.216327e-07

正常的零假设在2007-2018年的所有年份均被拒绝。

每周对数收益率探索性分析

可以从每日对数收益率开始计算每周对数收益率。让我们假设分析第{t-4，t-3，t-2，t-1，t}天的交易周，并知道第t-5天（前一周的最后一天）的收盘价。我们将每周的对数收益率定义为：

可以写为：

因此，每周对数收益率是应用于交易周窗口的每日对数收益率之和。

我们来看看每周的对数收益率。

该图显示波动率急剧上升和下降。我们将原始时间序列数据转换为数据框。

  1.  
     
  2.  
    head(weekly_ret_df)
  3.  
     
  4.  
    ## year value
  5.  
    ## 1 2007 -0.0061521694
  6.  
    ## 2 2007 0.0126690596
  7.  
    ## 3 2007 0.0007523559
  8.  
    ## 4 2007 -0.0062677053
  9.  
    ## 5 2007 0.0132434177
  10.  
    ## 6 2007 -0.0057588519
  11.  
    tail(weekly_ret_df)
  12.  
     
  13.  
    ## year value
  14.  
    ## 622 2018 0.05028763
  15.  
    ## 623 2018 -0.04605546
  16.  
    ## 624 2018 -0.01189714
  17.  
    ## 625 2018 -0.07114867
  18.  
    ## 626 2018 0.02711928
  19.  
    ## 627 2018 0.01142764

基本统计摘要

  1.  
    dataframe_basicstats(weekly_ret_df)
  2.  
     
  3.  
    ## 2007 2008 2009 2010 2011 2012
  4.  
    ## nobs 52.000000 52.000000 53.000000 52.000000 52.000000 52.000000
  5.  
    ## NAs 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
  6.  
    ## Minimum -0.043199 -0.200298 -0.063736 -0.058755 -0.066235 -0.035829
  7.  
    ## Maximum 0.030143 0.106977 0.086263 0.051463 0.067788 0.035316
  8.  
    ## 1. Quartile -0.009638 -0.031765 -0.015911 -0.007761 -0.015485 -0.010096
  9.  
    ## 3. Quartile 0.014808 0.012682 0.022115 0.016971 0.014309 0.011887
  10.  
    ## Mean 0.001327 -0.008669 0.003823 0.002011 0.001035 0.001102
  11.  
    ## Median 0.004244 -0.006811 0.004633 0.004529 0.001757 0.001166
  12.  
    ## Sum 0.069016 -0.450811 0.202605 0.104565 0.053810 0.057303
  13.  
    ## SE Mean 0.002613 0.006164 0.004454 0.003031 0.003836 0.002133
  14.  
    ## LCL Mean -0.003919 -0.021043 -0.005115 -0.004074 -0.006666 -0.003181
  15.  
    ## UCL Mean 0.006573 0.003704 0.012760 0.008096 0.008736 0.005384
  16.  
    ## Variance 0.000355 0.001975 0.001051 0.000478 0.000765 0.000237
  17.  
    ## Stdev 0.018843 0.044446 0.032424 0.021856 0.027662 0.015382
  18.  
    ## Skewness -0.680573 -0.985740 0.121331 -0.601407 -0.076579 -0.027302
  19.  
    ## Kurtosis -0.085887 5.446623 -0.033398 0.357708 0.052429 -0.461228
  20.  
    ## 2013 2014 2015 2016 2017 2018
  21.  
    ## nobs 52.000000 52.000000 53.000000 52.000000 52.000000 53.000000
  22.  
    ## NAs 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
  23.  
    ## Minimum -0.022556 -0.038482 -0.059991 -0.063897 -0.015317 -0.071149
  24.  
    ## Maximum 0.037702 0.034224 0.037693 0.052243 0.028192 0.050288
  25.  
    ## 1. Quartile -0.001738 -0.006378 -0.012141 -0.007746 -0.002251 -0.011897
  26.  
    ## 3. Quartile 0.011432 0.010244 0.009620 0.012791 0.009891 0.019857
  27.  
    ## Mean 0.004651 0.001756 -0.000669 0.002421 0.004304 -0.001093
  28.  
    ## Median 0.006360 0.003961 0.000954 0.001947 0.004080 0.001546
  29.  
    ## Sum 0.241874 0.091300 -0.035444 0.125884 0.223790 -0.057950
  30.  
    ## SE Mean 0.001828 0.002151 0.002609 0.002436 0.001232 0.003592
  31.  
    ## LCL Mean 0.000981 -0.002563 -0.005904 -0.002470 0.001830 -0.008302
  32.  
    ## UCL Mean 0.008322 0.006075 0.004567 0.007312 0.006778 0.006115
  33.  
    ## Variance 0.000174 0.000241 0.000361 0.000309 0.000079 0.000684
  34.  
    ## Stdev 0.013185 0.015514 0.018995 0.017568 0.008886 0.026154
  35.  
    ## Skewness -0.035175 -0.534403 -0.494963 -0.467158 0.266281 -0.658951
  36.  
    ## Kurtosis -0.200282 0.282354 0.665460 2.908942 -0.124341 -0.000870

在下文中，我们对上述一些相关指标进行了具体评论。

平均值

每周对数收益呈正平均值的年份是：

  1.  
     
  2.  
     
  3.  
    ## [1] "2007" "2009" "2010" "2011" "2012" "2013" "2014" "2016" "2017"

所有平均值按升序排列。

  1.  
     
  2.  
     
  3.  
    ## 2008 2018 2015 2011 2012 2007 2014
  4.  
    ## Mean -0.008669 -0.001093 -0.000669 0.001035 0.001102 0.001327 0.001756
  5.  
    ## 2010 2016 2009 2017 2013
  6.  
    ## Mean 0.002011 0.002421 0.003823 0.004304 0.004651

中位数

中位数是：

  1.  
     
  2.  
     
  3.  
    ## [1] "2007" "2009" "2010" "2011" "2012" "2013" "2014" "2015" "2016" "2017"
  4.  
    ## [11] "2018"

所有中值按升序排列。

  1.  
     
  2.  
     
  3.  
    ## 2008 2015 2012 2018 2011 2016 2014
  4.  
    ## Median -0.006811 0.000954 0.001166 0.001546 0.001757 0.001947 0.003961
  5.  
    ## 2017 2007 2010 2009 2013
  6.  
    ## Median 0.00408 0.004244 0.004529 0.004633 0.00636

偏度

出现正偏的年份是：

  1.  
    stats(stats, "Skewness", 0)
  2.  
     
  3.  
    ## [1] "2009" "2017"

所有偏度按升序排列。

  1.  
     
  2.  
    stats["Skewness",order(stats["Skewness",,])]
  3.  
     
  4.  
    ## 2008 2007 2018 2010 2014 2015
  5.  
    ## Skewness -0.98574 -0.680573 -0.658951 -0.601407 -0.534403 -0.494963
  6.  
    ## 2016 2011 2013 2012 2009 2017
  7.  
    ## Skewness -0.467158 -0.076579 -0.035175 -0.027302 0.121331 0.266281

峰度

出现正峰度的年份是：

  1.  
     
  2.  
    filter_stats(stats, "Kurtosis", 0)
  3.  
     
  4.  
    ## [1] "2008" "2010" "2011" "2014" "2015" "2016"

峰度值都按升序排列。

  1.  
     
  2.  
     
  3.  
    ## 2012 2013 2017 2007 2009 2018
  4.  
    ## Kurtosis -0.461228 -0.200282 -0.124341 -0.085887 -0.033398 -0.00087
  5.  
    ## 2011 2014 2010 2015 2016 2008
  6.  
    ## Kurtosis 0.052429 0.282354 0.357708 0.66546 2.908942 5.446623

2008年也是每周峰度最高的年份。但是，在这种情况下，2017年的峰度为负，而2016年的峰度为第二。

箱形图

密度图

shapiro检验

  1.  
     
  2.  
    shapirot(weekly_df)
  3.  
     
  4.  
    ## result
  5.  
    ## 2007 0.0140590311
  6.  
    ## 2008 0.0001397267
  7.  
    ## 2009 0.8701335006
  8.  
    ## 2010 0.0927104389
  9.  
    ## 2011 0.8650874270
  10.  
    ## 2012 0.9934600084
  11.  
    ## 2013 0.4849043121
  12.  
    ## 2014 0.1123139646
  13.  
    ## 2015 0.3141519756
  14.  
    ## 2016 0.0115380989
  15.  
    ## 2017 0.9465281164
  16.  
    ## 2018 0.0475141869

零假设在2007、2008、2016年被拒绝。

QQ图

在2008年尤其明显地违背正态分布的情况。

交易量探索性分析

在这一部分中，本文将分析道琼斯工业平均指数（DJIA）的交易量。

获取数据

每日量探索性分析

我们绘制每日交易量。

  1.  
    vol <- DJI[,"DJI.Volume"]
  2.  
    plot(vol)

值得注意的是，2017年初的水平跃升，我们将在第4部分中进行研究。我们将时间序列数据和时间轴索引转换为数据框。

  1.  
     
  2.  
    head(dj_vol_df)
  3.  
     
  4.  
    ## year value
  5.  
    ## 1 2007 327200000
  6.  
    ## 2 2007 259060000
  7.  
    ## 3 2007 235220000
  8.  
    ## 4 2007 223500000
  9.  
    ## 5 2007 225190000
  10.  
    ## 6 2007 226570000
  11.  
    tail(dj_vol_df)
  12.  
     
  13.  
    ## year value
  14.  
    ## 3015 2018 900510000
  15.  
    ## 3016 2018 308420000
  16.  
    ## 3017 2018 433080000
  17.  
    ## 3018 2018 407940000
  18.  
    ## 3019 2018 336510000
  19.  
    ## 3020 2018 288830000

基本统计摘要

  1.  
     
  2.  
    ## 2007 2008 2009 2010
  3.  
    ## nobs 2.510000e+02 2.530000e+02 2.520000e+02 2.520000e+02
  4.  
    ## NAs 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00
  5.  
    ## Minimum 8.640000e+07 6.693000e+07 5.267000e+07 6.840000e+07
  6.  
    ## Maximum 4.571500e+08 6.749200e+08 6.729500e+08 4.598900e+08
  7.  
    ## 1. Quartile 2.063000e+08 2.132100e+08 1.961850e+08 1.633400e+08
  8.  
    ## 3. Quartile 2.727400e+08 3.210100e+08 3.353625e+08 2.219025e+08
  9.  
    ## Mean 2.449575e+08 2.767164e+08 2.800537e+08 2.017934e+08
  10.  
    ## Median 2.350900e+08 2.569700e+08 2.443200e+08 1.905050e+08
  11.  
    ## Sum 6.148432e+10 7.000924e+10 7.057354e+10 5.085193e+10
  12.  
    ## SE Mean 3.842261e+06 5.965786e+06 7.289666e+06 3.950031e+06
  13.  
    ## LCL Mean 2.373901e+08 2.649672e+08 2.656970e+08 1.940139e+08
  14.  
    ## UCL Mean 2.525248e+08 2.884655e+08 2.944104e+08 2.095728e+08
  15.  
    ## Variance 3.705505e+15 9.004422e+15 1.339109e+16 3.931891e+15
  16.  
    ## Stdev 6.087286e+07 9.489163e+07 1.157199e+08 6.270480e+07
  17.  
    ## Skewness 9.422400e-01 1.203283e+00 1.037015e+00 1.452082e+00
  18.  
    ## Kurtosis 1.482540e+00 2.064821e+00 6.584810e-01 3.214065e+00
  19.  
    ## 2011 2012 2013 2014
  20.  
    ## nobs 2.520000e+02 2.500000e+02 2.520000e+02 2.520000e+02
  21.  
    ## NAs 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00
  22.  
    ## Minimum 8.410000e+06 4.771000e+07 3.364000e+07 4.287000e+07
  23.  
    ## Maximum 4.799800e+08 4.296100e+08 4.200800e+08 6.554500e+08
  24.  
    ## 1. Quartile 1.458775e+08 1.107150e+08 9.488000e+07 7.283000e+07
  25.  
    ## 3. Quartile 1.932400e+08 1.421775e+08 1.297575e+08 9.928000e+07
  26.  
    ## Mean 1.804133e+08 1.312606e+08 1.184434e+08 9.288516e+07
  27.  
    ## Median 1.671250e+08 1.251950e+08 1.109250e+08 8.144500e+07
  28.  
    ## Sum 4.546415e+10 3.281515e+10 2.984773e+10 2.340706e+10
  29.  
    ## SE Mean 3.897738e+06 2.796503e+06 2.809128e+06 3.282643e+06
  30.  
    ## LCL Mean 1.727369e+08 1.257528e+08 1.129109e+08 8.642012e+07
  31.  
    ## UCL Mean 1.880897e+08 1.367684e+08 1.239758e+08 9.935019e+07
  32.  
    ## Variance 3.828475e+15 1.955108e+15 1.988583e+15 2.715488e+15
  33.  
    ## Stdev 6.187468e+07 4.421660e+07 4.459353e+07 5.211034e+07
  34.  
    ## Skewness 1.878239e+00 3.454971e+00 3.551752e+00 6.619268e+00
  35.  
    ## Kurtosis 5.631080e+00 1.852581e+01 1.900989e+01 5.856136e+01
  36.  
    ## 2015 2016 2017 2018
  37.  
    ## nobs 2.520000e+02 2.520000e+02 2.510000e+02 2.510000e+02
  38.  
    ## NAs 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00
  39.  
    ## Minimum 4.035000e+07 4.589000e+07 1.186100e+08 1.559400e+08
  40.  
    ## Maximum 3.445600e+08 5.734700e+08 6.357400e+08 9.005100e+08
  41.  
    ## 1. Quartile 8.775250e+07 8.224250e+07 2.695850e+08 2.819550e+08
  42.  
    ## 3. Quartile 1.192150e+08 1.203550e+08 3.389950e+08 4.179200e+08
  43.  
    ## Mean 1.093957e+08 1.172089e+08 3.112396e+08 3.593710e+08
  44.  
    ## Median 1.021000e+08 9.410500e+07 2.996700e+08 3.414700e+08
  45.  
    ## Sum 2.756772e+10 2.953664e+10 7.812114e+10 9.020213e+10
  46.  
    ## SE Mean 2.433611e+06 4.331290e+06 4.376432e+06 6.984484e+06
  47.  
    ## LCL Mean 1.046028e+08 1.086786e+08 3.026202e+08 3.456151e+08
  48.  
    ## UCL Mean 1.141886e+08 1.257392e+08 3.198590e+08 3.731270e+08
  49.  
    ## Variance 1.492461e+15 4.727538e+15 4.807442e+15 1.224454e+16
  50.  
    ## Stdev 3.863238e+07 6.875709e+07 6.933572e+07 1.106550e+08
  51.  
    ## Skewness 3.420032e+00 3.046742e+00 1.478708e+00 1.363823e+00
  52.  
    ## Kurtosis 1.612326e+01 1.122161e+01 3.848619e+00 3.277164e+00

在下文中，我们对上面显示的一些相关指标进行了评论。

平均值

每日交易量具有正平均值的年份是：

  1.  
     
  2.  
     
  3.  
    ## [1] "2007" "2008" "2009" "2010" "2011" "2012" "2013" "2014" "2015" "2016"
  4.  
    ## [11] "2017" "2018"

所有每日交易量均值按升序排列。

  1.  
     
  2.  
     
  3.  
    ## 2014 2015 2016 2013 2012 2011 2010
  4.  
    ## Mean 92885159 109395714 117208889 118443373 131260600 180413294 201793373
  5.  
    ## 2007 2008 2009 2017 2018
  6.  
    ## Mean 244957450 276716364 280053730 311239602 359371036

中位数

每日交易量中位数为正的年份是：

  1.  
     
  2.  
     
  3.  
    ## [1] "2007" "2008" "2009" "2010" "2011" "2012" "2013" "2014" "2015" "2016"
  4.  
    ## [11] "2017" "2018"

所有每日成交量中值均按升序排列。

  1.  
     
  2.  
     
  3.  
    ## 2014 2016 2015 2013 2012 2011 2010
  4.  
    ## Median 81445000 94105000 102100000 110925000 125195000 167125000 190505000
  5.  
    ## 2007 2009 2008 2017 2018
  6.  
    ## Median 235090000 244320000 256970000 299670000 341470000

偏度

每日交易量出现正偏的年份是：

  1.  
     
  2.  
     
  3.  
    ## [1] "2007" "2008" "2009" "2010" "2011" "2012" "2013" "2014" "2015" "2016"
  4.  
    ## [11] "2017" "2018"

每日交易量偏度值均按升序排列。

  1.  
     
  2.  
     
  3.  
    ## 2007 2009 2008 2018 2010 2017 2011
  4.  
    ## Skewness 0.94224 1.037015 1.203283 1.363823 1.452082 1.478708 1.878239
  5.  
    ## 2016 2015 2012 2013 2014
  6.  
    ## Skewness 3.046742 3.420032 3.454971 3.551752 6.619268

峰度

有正峰度的年份是：

  1.  
     
  2.  
     
  3.  
    ## [1] "2007" "2008" "2009" "2010" "2011" "2012" "2013" "2014" "2015" "2016"
  4.  
    ## [11] "2017" "2018"

按升序排列。

  1.  
     
  2.  
    ## 2009 2007 2008 2010 2018 2017 2011
  3.  
    ## Kurtosis 0.658481 1.48254 2.064821 3.214065 3.277164 3.848619 5.63108
  4.  
    ## 2016 2015 2012 2013 2014
  5.  
    ## Kurtosis 11.22161 16.12326 18.52581 19.00989 58.56136

箱形图

从2010年开始交易量开始下降，2017年出现了显着增长。2018年的交易量甚至超过了2017年和其他年份。

密度图

shapiro检验

  1.  
    ## result
  2.  
    ## 2007 6.608332e-09
  3.  
    ## 2008 3.555102e-10
  4.  
    ## 2009 1.023147e-10
  5.  
    ## 2010 9.890576e-13
  6.  
    ## 2011 2.681476e-16
  7.  
    ## 2012 1.866544e-20
  8.  
    ## 2013 6.906596e-21
  9.  
    ## 2014 5.304227e-27
  10.  
    ## 2015 2.739912e-21
  11.  
    ## 2016 6.640215e-23
  12.  
    ## 2017 4.543843e-12
  13.  
    ## 2018 9.288371e-11

正态分布的零假设被拒绝。

QQ图

QQplots直观地确认了每日交易量分布的非正态情况。

每日交易量对数比率探索性分析

与对数收益类似，我们可以将交易量对数比率定义为

vt：= ln(Vt/Vt−1)
我们可以通过PerformanceAnalytics包中的CalculateReturns对其进行计算并将其绘制出来。

plot(vol_log_ratio)

将交易量对数比率时间序列数据和时间轴索引映射到数据框。

  1.  
    head(dvol_df)
  2.  
     
  3.  
    ## year value
  4.  
    ## 1 2007 -0.233511910
  5.  
    ## 2 2007 -0.096538449
  6.  
    ## 3 2007 -0.051109832
  7.  
    ## 4 2007 0.007533076
  8.  
    ## 5 2007 0.006109458
  9.  
    ## 6 2007 0.144221282
  10.  
    tail(vol_df)
  11.  
     
  12.  
    ## year value
  13.  
    ## 3014 2018 0.44563907
  14.  
    ## 3015 2018 -1.07149878
  15.  
    ## 3016 2018 0.33945998
  16.  
    ## 3017 2018 -0.05980236
  17.  
    ## 3018 2018 -0.19249224
  18.  
    ## 3019 2018 -0.15278959

基本统计摘要

  1.  
     
  2.  
    ## 2007 2008 2009 2010 2011
  3.  
    ## nobs 250.000000 253.000000 252.000000 252.000000 252.000000
  4.  
    ## NAs 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
  5.  
    ## Minimum -1.606192 -1.122526 -1.071225 -1.050181 -2.301514
  6.  
    ## Maximum 0.775961 0.724762 0.881352 1.041216 2.441882
  7.  
    ## 1. Quartile -0.123124 -0.128815 -0.162191 -0.170486 -0.157758
  8.  
    ## 3. Quartile 0.130056 0.145512 0.169233 0.179903 0.137108
  9.  
    ## Mean -0.002685 0.001203 -0.001973 -0.001550 0.000140
  10.  
    ## Median -0.010972 0.002222 -0.031748 -0.004217 -0.012839
  11.  
    ## Sum -0.671142 0.304462 -0.497073 -0.390677 0.035162
  12.  
    ## SE Mean 0.016984 0.016196 0.017618 0.019318 0.026038
  13.  
    ## LCL Mean -0.036135 -0.030693 -0.036670 -0.039596 -0.051141
  14.  
    ## UCL Mean 0.030766 0.033100 0.032725 0.036495 0.051420
  15.  
    ## Variance 0.072112 0.066364 0.078219 0.094041 0.170850
  16.  
    ## Stdev 0.268536 0.257612 0.279677 0.306661 0.413341
  17.  
    ## Skewness -0.802037 -0.632586 0.066535 -0.150523 0.407226
  18.  
    ## Kurtosis 5.345212 2.616615 1.500979 1.353797 14.554642
  19.  
    ## 2012 2013 2014 2015 2016
  20.  
    ## nobs 250.000000 252.000000 252.000000 252.000000 252.000000
  21.  
    ## NAs 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
  22.  
    ## Minimum -2.158960 -1.386215 -2.110572 -1.326016 -1.336471
  23.  
    ## Maximum 1.292956 1.245202 2.008667 1.130289 1.319713
  24.  
    ## 1. Quartile -0.152899 -0.145444 -0.144280 -0.143969 -0.134011
  25.  
    ## 3. Quartile 0.144257 0.149787 0.134198 0.150003 0.141287
  26.  
    ## Mean 0.001642 -0.002442 0.000200 0.000488 0.004228
  27.  
    ## Median -0.000010 -0.004922 0.013460 0.004112 -0.002044
  28.  
    ## Sum 0.410521 -0.615419 0.050506 0.123080 1.065480
  29.  
    ## SE Mean 0.021293 0.019799 0.023514 0.019010 0.019089
  30.  
    ## LCL Mean -0.040295 -0.041435 -0.046110 -0.036952 -0.033367
  31.  
    ## UCL Mean 0.043579 0.036551 0.046510 0.037929 0.041823
  32.  
    ## Variance 0.113345 0.098784 0.139334 0.091071 0.091826
  33.  
    ## Stdev 0.336667 0.314299 0.373274 0.301780 0.303028
  34.  
    ## Skewness -0.878227 -0.297951 -0.209417 -0.285918 0.083826
  35.  
    ## Kurtosis 8.115847 4.681120 9.850061 4.754926 4.647785
  36.  
    ## 2017 2018
  37.  
    ## nobs 251.000000 251.000000
  38.  
    ## NAs 0.000000 0.000000
  39.  
    ## Minimum -0.817978 -1.071499
  40.  
    ## Maximum 0.915599 0.926101
  41.  
    ## 1. Quartile -0.112190 -0.119086
  42.  
    ## 3. Quartile 0.110989 0.112424
  43.  
    ## Mean -0.000017 0.000257
  44.  
    ## Median -0.006322 0.003987
  45.  
    ## Sum -0.004238 0.064605
  46.  
    ## SE Mean 0.013446 0.014180
  47.  
    ## LCL Mean -0.026500 -0.027671
  48.  
    ## UCL Mean 0.026466 0.028185
  49.  
    ## Variance 0.045383 0.050471
  50.  
    ## Stdev 0.213032 0.224658
  51.  
    ## Skewness 0.088511 -0.281007
  52.  
    ## Kurtosis 3.411036 4.335748

在下文中，我们对一些相关的上述指标进行了具体评论。

平均值

每日交易量对数比率具有正平均值的年份是：

  1.  
     
  2.  
    ## [1] "2008" "2011" "2012" "2014" "2015" "2016" "2018"

所有每日成交量比率的平均值均按升序排列。

  1.  
    ## 2007 2013 2009 2010 2017 2011 2014
  2.  
    ## Mean -0.002685 -0.002442 -0.001973 -0.00155 -1.7e-05 0.00014 2e-04
  3.  
    ## 2018 2015 2008 2012 2016
  4.  
    ## Mean 0.000257 0.000488 0.001203 0.001642 0.004228

中位数

每日交易量对数比率具有正中位数的年份是：

## [1] "2008" "2014" "2015" "2018"

道琼斯所有每日成交量比率的中位数均按升序排列。

  1.  
    ## 2009 2011 2007 2017 2013 2010
  2.  
    ## Median -0.031748 -0.012839 -0.010972 -0.006322 -0.004922 -0.004217
  3.  
    ## 2016 2012 2008 2018 2015 2014
  4.  
    ## Median -0.002044 -1e-05 0.002222 0.003987 0.004112 0.01346

偏度

每日成交量比率具有正偏的年份是：

## [1] "2009" "2011" "2016" "2017"

所有每日成交量比率的平均值均按升序排列。

  1.  
    ## 2012 2007 2008 2013 2015 2018
  2.  
    ## Skewness -0.878227 -0.802037 -0.632586 -0.297951 -0.285918 -0.281007
  3.  
    ## 2014 2010 2009 2016 2017 2011
  4.  
    ## Skewness -0.209417 -0.150523 0.066535 0.083826 0.088511 0.407226

峰度

有正峰度的年份是：

  1.  
    ## [1] "2007" "2008" "2009" "2010" "2011" "2012" "2013" "2014" "2015" "2016"
  2.  
    ## [11] "2017" "2018"

均按升序排列。

  1.  
    ## 2010 2009 2008 2017 2018 2016 2013
  2.  
    ## Kurtosis 1.353797 1.500979 2.616615 3.411036 4.335748 4.647785 4.68112
  3.  
    ## 2015 2007 2012 2014 2011
  4.  
    ## Kurtosis 4.754926 5.345212 8.115847 9.850061 14.55464

箱形图

可以在2011、2014和2016年发现正的极端值。在2007、2011、2012、2014年可以发现负的极端值。

密度图

shapiro检验

  1.  
    ## result
  2.  
    ## 2007 3.695053e-09
  3.  
    ## 2008 6.160136e-07
  4.  
    ## 2009 2.083475e-04
  5.  
    ## 2010 1.500060e-03
  6.  
    ## 2011 3.434415e-18
  7.  
    ## 2012 8.417627e-12
  8.  
    ## 2013 1.165184e-10
  9.  
    ## 2014 1.954662e-16
  10.  
    ## 2015 5.261037e-11
  11.  
    ## 2016 7.144940e-11
  12.  
    ## 2017 1.551041e-08
  13.  
    ## 2018 3.069196e-09

基于报告的p值，我们可以拒绝所有正态分布的零假设。

QQ图

在所有报告的年份都可以发现偏离正态状态。

对数收益率GARCH模型

我将为工业平均指数（DJIA）的每日对数收益率建立一个ARMA-GARCH模型。

这是工业平均指数每日对数收益的图。

plot(ret)

离群值检测

Performance Analytics程序包中的Return.clean函数能够清除异常值。在下面，我们将原始时间序列与调整离群值后的进行比较。

clean(ret, "boudt")

作为对波动率评估的更为保守的方法，本文将以原始时间序列进行分析。

相关图

以下是自相关和偏相关图。

acf(ret)


pacf(dj_ret)

上面的相关图表明p和q> 0的一些ARMA（p，q）模型。将在本分析的该范围内对此进行验证。

单位根检验

我们运行Augmented Dickey-Fuller检验。

  1.  
     
  2.  
    ##
  3.  
    ## ###############################################
  4.  
    ## # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test #
  5.  
    ## ###############################################
  6.  
    ##
  7.  
    ## Test regression none
  8.  
    ##
  9.  
    ##
  10.  
    ## Call:
  11.  
    ## lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 - 1 + z.diff.lag)
  12.  
    ##
  13.  
    ## Residuals:
  14.  
    ## Min 1Q Median 3Q Max
  15.  
    ## -0.081477 -0.004141 0.000762 0.005426 0.098777
  16.  
    ##
  17.  
    ## Coefficients:
  18.  
    ## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
  19.  
    ## z.lag.1 -1.16233 0.02699 -43.058 < 2e-16 ***
  20.  
    ## z.diff.lag 0.06325 0.01826 3.464 0.000539 ***
  21.  
    ## ---
  22.  
    ## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
  23.  
    ##
  24.  
    ## Residual standard error: 0.01157 on 2988 degrees of freedom
  25.  
    ## Multiple R-squared: 0.5484, Adjusted R-squared: 0.5481
  26.  
    ## F-statistic: 1814 on 2 and 2988 DF, p-value: < 2.2e-16
  27.  
    ##
  28.  
    ##
  29.  
    ## Value of test-statistic is: -43.0578
  30.  
    ##
  31.  
    ## Critical values for test statistics:
  32.  
    ## 1pct 5pct 10pct
  33.  
    ## tau1 -2.58 -1.95 -1.62

基于报告的检验统计数据与临界值的比较，我们拒绝单位根存在的零假设。

ARMA模型

现在，我们确定时间序列的ARMA结构，以便对结果残差进行ARCH效应检验。ACF和PACF系数拖尾表明存在ARMA（2,2）。我们利用auto.arima（）函数开始构建。

  1.  
    ## Series: ret
  2.  
    ## ARIMA(2,0,4) with zero mean
  3.  
    ##
  4.  
    ## Coefficients:
  5.  
    ## ar1 ar2 ma1 ma2 ma3 ma4
  6.  
    ## 0.4250 -0.8784 -0.5202 0.8705 -0.0335 -0.0769
  7.  
    ## s.e. 0.0376 0.0628 0.0412 0.0672 0.0246 0.0203
  8.  
    ##
  9.  
    ## sigma^2 estimated as 0.0001322: log likelihood=9201.19
  10.  
    ## AIC=-18388.38 AICc=-18388.34 BIC=-18346.29
  11.  
    ##
  12.  
    ## Training set error measures:
  13.  
    ## ME RMSE MAE MPE MAPE MASE
  14.  
    ## Training set 0.0002416895 0.01148496 0.007505056 NaN Inf 0.6687536
  15.  
    ## ACF1
  16.  
    ## Training set -0.002537238

建议使用ARMA（2,4）模型。但是，ma3系数在统计上并不显着，进一步通过以下方法验证：

  1.  
    ## z test of coefficients:
  2.  
    ##
  3.  
    ## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
  4.  
    ## ar1 0.425015 0.037610 11.3007 < 2.2e-16 ***
  5.  
    ## ar2 -0.878356 0.062839 -13.9779 < 2.2e-16 ***
  6.  
    ## ma1 -0.520173 0.041217 -12.6204 < 2.2e-16 ***
  7.  
    ## ma2 0.870457 0.067211 12.9511 < 2.2e-16 ***
  8.  
    ## ma3 -0.033527 0.024641 -1.3606 0.1736335
  9.  
    ## ma4 -0.076882 0.020273 -3.7923 0.0001492 ***
  10.  
    ## ---
  11.  
    ## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

因此，我们将MA阶q <= 2作为约束。

  1.  
    ## Series: dj_ret
  2.  
    ## ARIMA(2,0,2) with zero mean
  3.  
    ##
  4.  
    ## Coefficients:
  5.  
    ## ar1 ar2 ma1 ma2
  6.  
    ## -0.5143 -0.4364 0.4212 0.3441
  7.  
    ## s.e. 0.1461 0.1439 0.1512 0.1532
  8.  
    ##
  9.  
    ## sigma^2 estimated as 0.0001325: log likelihood=9196.33
  10.  
    ## AIC=-18382.66 AICc=-18382.64 BIC=-18352.6
  11.  
    ##
  12.  
    ## Training set error measures:
  13.  
    ## ME RMSE MAE MPE MAPE MASE
  14.  
    ## Training set 0.0002287171 0.01150361 0.007501925 Inf Inf 0.6684746
  15.  
    ## ACF1
  16.  
    ## Training set -0.002414944

现在，所有系数都具有统计意义。

  1.  
    ## z test of coefficients:
  2.  
    ##
  3.  
    ## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
  4.  
    ## ar1 -0.51428 0.14613 -3.5192 0.0004328 ***
  5.  
    ## ar2 -0.43640 0.14392 -3.0322 0.0024276 **
  6.  
    ## ma1 0.42116 0.15121 2.7853 0.0053485 **
  7.  
    ## ma2 0.34414 0.15323 2.2458 0.0247139 *
  8.  
    ## ---
  9.  
    ## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

使用ARMA（2,1）和ARMA（1,2）进行的进一步验证得出的AIC值高于ARMA（2,2）。因此，ARMA（2,2）是更可取的。这是结果。

  1.  
    ## Series: dj_ret
  2.  
    ## ARIMA(2,0,1) with zero mean
  3.  
    ##
  4.  
    ## Coefficients:
  5.  
    ## ar1 ar2 ma1
  6.  
    ## -0.4619 -0.1020 0.3646
  7.  
    ## s.e. 0.1439 0.0204 0.1438
  8.  
    ##
  9.  
    ## sigma^2 estimated as 0.0001327: log likelihood=9194.1
  10.  
    ## AIC=-18380.2 AICc=-18380.19 BIC=-18356.15
  11.  
    ##
  12.  
    ## Training set error measures:
  13.  
    ## ME RMSE MAE MPE MAPE MASE
  14.  
    ## Training set 0.0002370597 0.01151213 0.007522059 Inf Inf 0.6702687
  15.  
    ## ACF1
  16.  
    ## Training set 0.0009366271
  17.  
    coeftest(auto_model3)
  18.  
     
  19.  
    ##
  20.  
    ## z test of coefficients:
  21.  
    ##
  22.  
    ## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
  23.  
    ## ar1 -0.461916 0.143880 -3.2104 0.001325 **
  24.  
    ## ar2 -0.102012 0.020377 -5.0062 5.552e-07 ***
  25.  
    ## ma1 0.364628 0.143818 2.5353 0.011234 *
  26.  
    ## ---
  27.  
    ## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

所有系数均具有统计学意义。

  1.  
     
  2.  
    ## ARIMA(1,0,2) with zero mean
  3.  
    ##
  4.  
    ## Coefficients:
  5.  
    ## ar1 ma1 ma2
  6.  
    ## -0.4207 0.3259 -0.0954
  7.  
    ## s.e. 0.1488 0.1481 0.0198
  8.  
    ##
  9.  
    ## sigma^2 estimated as 0.0001328: log likelihood=9193.01
  10.  
    ## AIC=-18378.02 AICc=-18378 BIC=-18353.96
  11.  
    ##
  12.  
    ## Training set error measures:
  13.  
    ## ME RMSE MAE MPE MAPE MASE
  14.  
    ## Training set 0.0002387398 0.0115163 0.007522913 Inf Inf 0.6703448
  15.  
    ## ACF1
  16.  
    ## Training set -0.001958194
  17.  
    coeftest(auto_model4)
  18.  
     
  19.  
    ##
  20.  
    ## z test of coefficients:
  21.  
    ##
  22.  
    ## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
  23.  
    ## ar1 -0.420678 0.148818 -2.8268 0.004702 **
  24.  
    ## ma1 0.325918 0.148115 2.2004 0.027776 *
  25.  
    ## ma2 -0.095407 0.019848 -4.8070 1.532e-06 ***
  26.  
    ## ---
  27.  
    ## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

所有系数均具有统计学意义。此外，我们使用TSA软件包报告中的eacf（）函数。

  1.  
    ## AR/MA
  2.  
    ## 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
  3.  
    ## 0 x x x o x o o o o o o o o x
  4.  
    ## 1 x x o o x o o o o o o o o o
  5.  
    ## 2 x o o x x o o o o o o o o o
  6.  
    ## 3 x o x o x o o o o o o o o o
  7.  
    ## 4 x x x x x o o o o o o o o o
  8.  
    ## 5 x x x x x o o x o o o o o o
  9.  
    ## 6 x x x x x x o o o o o o o o
  10.  
    ## 7 x x x x x o o o o o o o o o

以“ O”为顶点的左上三角形位于（p，q）= {（1,2 ,,（2,2），（1,3）}}内，它表示一组潜在候选对象（p，q）值。ARMA（1,2）模型已经过验证。ARMA（2,2）已经是候选模型。让我们验证ARMA（1,3）。

  1.  
    ## Call:
  2.  
    ##
  3.  
    ## Coefficients:
  4.  
    ## ar1 ma1 ma2 ma3
  5.  
    ## -0.2057 0.1106 -0.0681 0.0338
  6.  
    ## s.e. 0.2012 0.2005 0.0263 0.0215
  7.  
    ##
  8.  
    ## sigma^2 estimated as 0.0001325: log likelihood = 9193.97, aic = -18379.94
  9.  
    coeftest(arima_model5)
  10.  
     
  11.  
    ##
  12.  
    ## z test of coefficients:
  13.  
    ##
  14.  
    ## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
  15.  
    ## ar1 -0.205742 0.201180 -1.0227 0.306461
  16.  
    ## ma1 0.110599 0.200475 0.5517 0.581167
  17.  
    ## ma2 -0.068124 0.026321 -2.5882 0.009647 **
  18.  
    ## ma3 0.033832 0.021495 1.5739 0.115501
  19.  
    ## ---
  20.  
    ## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

只有一个系数具有统计意义。

结论是，我们选择ARMA（2,2）作为均值模型。现在，我们可以继续进行ARCH效果检验。

ARCH效应检验

现在，我们可以检验模型残差上是否存在ARCH效应。如果ARCH效应对于我们的时间序列的残差在统计上显着，则需要GARCH模型。

  1.  
     
  2.  
    ## ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects
  3.  
    ##
  4.  
    ## data: model_residuals - mean(model_residuals)
  5.  
    ## Chi-squared = 986.82, df = 12, p-value < 2.2e-16

基于报告的p值，我们拒绝没有ARCH效应的原假设。

让我们看一下残差相关图。

条件波动率

条件均值和方差定义为：

μt：= E（rt | Ft-1）σt2：= Var（rt | Ft-1）= E [（rt-μt）2 | Ft-1]

条件波动率可以计算为条件方差的平方根。

eGARCH模型

将sGARCH作为方差模型的尝试未获得具有统计显着性系数的结果。而指数GARCH（eGARCH）方差模型能够捕获波动率内的不对称性。要检查DJIA对数收益率内的不对称性，显示汇总统计数据和密度图。

  1.  
    ## DAdjusted
  2.  
    ## nobs 3019.000000
  3.  
    ## NAs 0.000000
  4.  
    ## Minimum -0.082005
  5.  
    ## Maximum 0.105083
  6.  
    ## 1. Quartile -0.003991
  7.  
    ## 3. Quartile 0.005232
  8.  
    ## Mean 0.000207
  9.  
    ## Median 0.000551
  10.  
    ## Sum 0.625943
  11.  
    ## SE Mean 0.000211
  12.  
    ## LCL Mean -0.000206
  13.  
    ## UCL Mean 0.000621
  14.  
    ## Variance 0.000134
  15.  
    ## Stdev 0.011593
  16.  
    ## Skewness -0.141370
  17.  
    ## Kurtosis 10.200492

负偏度值确认分布内不对称性的存在。

这给出了密度图。

我们继续提出eGARCH模型作为方差模型（针对条件方差）。更准确地说，我们将使用ARMA（2,2）作为均值模型，指数GARCH（1,1）作为方差模型对ARMA-GARCH进行建模。

在此之前，我们进一步强调ARMA（0,0）在这种情况下不令人满意。ARMA-GARCH：ARMA（0,0）+ eGARCH（1,1）

  1.  
    ##
  2.  
    ## *---------------------------------*
  3.  
    ## * GARCH Model Fit *
  4.  
    ## *---------------------------------*
  5.  
    ##
  6.  
    ## Conditional Variance Dynamics
  7.  
    ## -----------------------------------
  8.  
    ## GARCH Model : eGARCH(1,1)
  9.  
    ## Mean Model : ARFIMA(0,0,0)
  10.  
    ## Distribution : sstd
  11.  
    ##
  12.  
    ## Optimal Parameters
  13.  
    ## ------------------------------------
  14.  
    ## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
  15.  
    ## mu 0.000303 0.000117 2.5933 0.009506
  16.  
    ## omega -0.291302 0.016580 -17.5699 0.000000
  17.  
    ## alpha1 -0.174456 0.013913 -12.5387 0.000000
  18.  
    ## beta1 0.969255 0.001770 547.6539 0.000000
  19.  
    ## gamma1 0.188918 0.021771 8.6773 0.000000
  20.  
    ## skew 0.870191 0.021763 39.9848 0.000000
  21.  
    ## shape 6.118380 0.750114 8.1566 0.000000
  22.  
    ##
  23.  
    ## Robust Standard Errors:
  24.  
    ## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
  25.  
    ## mu 0.000303 0.000130 2.3253 0.020055
  26.  
    ## omega -0.291302 0.014819 -19.6569 0.000000
  27.  
    ## alpha1 -0.174456 0.016852 -10.3524 0.000000
  28.  
    ## beta1 0.969255 0.001629 595.0143 0.000000
  29.  
    ## gamma1 0.188918 0.031453 6.0063 0.000000
  30.  
    ## skew 0.870191 0.022733 38.2783 0.000000
  31.  
    ## shape 6.118380 0.834724 7.3298 0.000000
  32.  
    ##
  33.  
    ## LogLikelihood : 10138.63
  34.  
    ##
  35.  
    ## Information Criteria
  36.  
    ## ------------------------------------
  37.  
    ##
  38.  
    ## Akaike -6.7119
  39.  
    ## Bayes -6.6980
  40.  
    ## Shibata -6.7119
  41.  
    ## Hannan-Quinn -6.7069
  42.  
    ##
  43.  
    ## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
  44.  
    ## ------------------------------------
  45.  
    ## statistic p-value
  46.  
    ## Lag[1] 5.475 0.01929
  47.  
    ## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][2] 6.011 0.02185
  48.  
    ## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][5] 7.712 0.03472
  49.  
    ## d.o.f=0
  50.  
    ## H0 : No serial correlation
  51.  
    ##
  52.  
    ## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
  53.  
    ## ------------------------------------
  54.  
    ## statistic p-value
  55.  
    ## Lag[1] 1.342 0.2467
  56.  
    ## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5] 2.325 0.5438
  57.  
    ## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9] 2.971 0.7638
  58.  
    ## d.o.f=2
  59.  
    ##
  60.  
    ## Weighted ARCH LM Tests
  61.  
    ## ------------------------------------
  62.  
    ## Statistic Shape Scale P-Value
  63.  
    ## ARCH Lag[3] 0.3229 0.500 2.000 0.5699
  64.  
    ## ARCH Lag[5] 1.4809 1.440 1.667 0.5973
  65.  
    ## ARCH Lag[7] 1.6994 2.315 1.543 0.7806
  66.  
    ##
  67.  
    ## Nyblom stability test
  68.  
    ## ------------------------------------
  69.  
    ## Joint Statistic: 4.0468
  70.  
    ## Individual Statistics:
  71.  
    ## mu 0.2156
  72.  
    ## omega 1.0830
  73.  
    ## alpha1 0.5748
  74.  
    ## beta1 0.8663
  75.  
    ## gamma1 0.3994
  76.  
    ## skew 0.1044
  77.  
    ## shape 0.4940
  78.  
    ##
  79.  
    ## Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
  80.  
    ## Joint Statistic: 1.69 1.9 2.35
  81.  
    ## Individual Statistic: 0.35 0.47 0.75
  82.  
    ##
  83.  
    ## Sign Bias Test
  84.  
    ## ------------------------------------
  85.  
    ## t-value prob sig
  86.  
    ## Sign Bias 1.183 0.23680
  87.  
    ## Negative Sign Bias 2.180 0.02932 **
  88.  
    ## Positive Sign Bias 1.554 0.12022
  89.  
    ## Joint Effect 8.498 0.03677 **
  90.  
    ##
  91.  
    ##
  92.  
    ## Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
  93.  
    ## ------------------------------------
  94.  
    ## group statistic p-value(g-1)
  95.  
    ## 1 20 37.24 0.00741
  96.  
    ## 2 30 42.92 0.04633
  97.  
    ## 3 40 52.86 0.06831
  98.  
    ## 4 50 65.55 0.05714
  99.  
    ##
  100.  
    ##
  101.  
    ## Elapsed time : 0.6527421

所有系数均具有统计学意义。但是，根据以上报告的p值的标准化残差加权Ljung-Box检验，我们确认该模型无法捕获所有ARCH效果（我们拒绝了残差内无相关性的零假设） ）。

作为结论，我们通过在下面所示的GARCH拟合中指定ARMA（2,2）作为均值模型来继续进行。

ARMA-GARCH：ARMA（2,2）+ eGARCH（1,1）

  1.  
    ##
  2.  
    ## *---------------------------------*
  3.  
    ## * GARCH Model Fit *
  4.  
    ## *---------------------------------*
  5.  
    ##
  6.  
    ## Conditional Variance Dynamics
  7.  
    ## -----------------------------------
  8.  
    ## GARCH Model : eGARCH(1,1)
  9.  
    ## Mean Model : ARFIMA(2,0,2)
  10.  
    ## Distribution : sstd
  11.  
    ##
  12.  
    ## Optimal Parameters
  13.  
    ## ------------------------------------
  14.  
    ## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
  15.  
    ## ar1 -0.47642 0.026115 -18.2433 0
  16.  
    ## ar2 -0.57465 0.052469 -10.9523 0
  17.  
    ## ma1 0.42945 0.025846 16.6157 0
  18.  
    ## ma2 0.56258 0.054060 10.4066 0
  19.  
    ## omega -0.31340 0.003497 -89.6286 0
  20.  
    ## alpha1 -0.17372 0.011642 -14.9222 0
  21.  
    ## beta1 0.96598 0.000027 35240.1590 0
  22.  
    ## gamma1 0.18937 0.011893 15.9222 0
  23.  
    ## skew 0.84959 0.020063 42.3469 0
  24.  
    ## shape 5.99161 0.701313 8.5434 0
  25.  
    ##
  26.  
    ## Robust Standard Errors:
  27.  
    ## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
  28.  
    ## ar1 -0.47642 0.007708 -61.8064 0
  29.  
    ## ar2 -0.57465 0.018561 -30.9608 0
  30.  
    ## ma1 0.42945 0.007927 54.1760 0
  31.  
    ## ma2 0.56258 0.017799 31.6074 0
  32.  
    ## omega -0.31340 0.003263 -96.0543 0
  33.  
    ## alpha1 -0.17372 0.012630 -13.7547 0
  34.  
    ## beta1 0.96598 0.000036 26838.0412 0
  35.  
    ## gamma1 0.18937 0.013003 14.5631 0
  36.  
    ## skew 0.84959 0.020089 42.2911 0
  37.  
    ## shape 5.99161 0.707324 8.4708 0
  38.  
    ##
  39.  
    ## LogLikelihood : 10140.27
  40.  
    ##
  41.  
    ## Information Criteria
  42.  
    ## ------------------------------------
  43.  
    ##
  44.  
    ## Akaike -6.7110
  45.  
    ## Bayes -6.6911
  46.  
    ## Shibata -6.7110
  47.  
    ## Hannan-Quinn -6.7039
  48.  
    ##
  49.  
    ## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
  50.  
    ## ------------------------------------
  51.  
    ## statistic p-value
  52.  
    ## Lag[1] 0.03028 0.8619
  53.  
    ## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][11] 5.69916 0.6822
  54.  
    ## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][19] 12.14955 0.1782
  55.  
    ## d.o.f=4
  56.  
    ## H0 : No serial correlation
  57.  
    ##
  58.  
    ## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
  59.  
    ## ------------------------------------
  60.  
    ## statistic p-value
  61.  
    ## Lag[1] 1.666 0.1967
  62.  
    ## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5] 2.815 0.4418
  63.  
    ## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9] 3.457 0.6818
  64.  
    ## d.o.f=2
  65.  
    ##
  66.  
    ## Weighted ARCH LM Tests
  67.  
    ## ------------------------------------
  68.  
    ## Statistic Shape Scale P-Value
  69.  
    ## ARCH Lag[3] 0.1796 0.500 2.000 0.6717
  70.  
    ## ARCH Lag[5] 1.5392 1.440 1.667 0.5821
  71.  
    ## ARCH Lag[7] 1.6381 2.315 1.543 0.7933
  72.  
    ##
  73.  
    ## Nyblom stability test
  74.  
    ## ------------------------------------
  75.  
    ## Joint Statistic: 4.4743
  76.  
    ## Individual Statistics:
  77.  
    ## ar1 0.07045
  78.  
    ## ar2 0.37070
  79.  
    ## ma1 0.07702
  80.  
    ## ma2 0.39283
  81.  
    ## omega 1.00123
  82.  
    ## alpha1 0.49520
  83.  
    ## beta1 0.79702
  84.  
    ## gamma1 0.51601
  85.  
    ## skew 0.07163
  86.  
    ## shape 0.55625
  87.  
    ##
  88.  
    ## Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
  89.  
    ## Joint Statistic: 2.29 2.54 3.05
  90.  
    ## Individual Statistic: 0.35 0.47 0.75
  91.  
    ##
  92.  
    ## Sign Bias Test
  93.  
    ## ------------------------------------
  94.  
    ## t-value prob sig
  95.  
    ## Sign Bias 0.4723 0.63677
  96.  
    ## Negative Sign Bias 1.7969 0.07246 *
  97.  
    ## Positive Sign Bias 2.0114 0.04438 **
  98.  
    ## Joint Effect 7.7269 0.05201 *
  99.  
    ##
  100.  
    ##
  101.  
    ## Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
  102.  
    ## ------------------------------------
  103.  
    ## group statistic p-value(g-1)
  104.  
    ## 1 20 46.18 0.0004673
  105.  
    ## 2 30 47.73 0.0156837
  106.  
    ## 3 40 67.07 0.0034331
  107.  
    ## 4 50 65.51 0.0574582
  108.  
    ##
  109.  
    ##
  110.  
    ## Elapsed time : 0.93679

所有系数均具有统计学意义。在标准化残差或标准化平方残差内未发现相关性。模型正确捕获所有ARCH效果。然而：

*对于某些模型参数，Nyblom稳定性检验无效假设认为模型参数随时间是恒定的

*正偏差为零的假设在5％的显着性水平上被拒绝；这种检验着重于正面冲击的影响

*拒绝了标准化残差的经验和理论分布相同的Pearson拟合优度检验原假设

注意：ARMA（1,2）+ eGARCH（1,1）拟合还提供统计上显着的系数，标准化残差内没有相关性，标准化平方残差内没有相关性，并且正确捕获了所有ARCH效应。但是，偏差检验在5％时不如ARMA（2,2）+ eGARCH（1,1）模型令人满意。

进一步显示诊断图。

我们用平均模型拟合（红线）和条件波动率（蓝线）显示了原始的对数收益时间序列。

  1.  
     
  2.  
    p <- addSeries(mean_model_fit, col = 'red', on = 1)
  3.  
    p <- addSeries(cond_volatility, col = 'blue', on = 1)
  4.  
    p

模型方程式

结合ARMA（2,2）和eGARCH模型，我们可以：

yt − ϕ1yt−1 − ϕ2yt−2 = ϕ0 + ut + θ1ut−1 +θ2ut-2ut= σtϵt，ϵt = N（0,1）ln⁡（σt2）=ω+ ∑j = 1q（αjϵt−j2 +γ （ϵt−j–E | ϵt−j |））+ ∑i =1pβiln（σt−12）

使用模型结果系数，结果如下。

yt +0.476 yt-1 +0.575 yt-2 = ut +0.429 ut-1 +0.563 ut-2ut = σtϵt，ϵt = N（0,1）ln⁡（σt2）= -0.313 -0.174ϵt-12 +0.189（ ϵt−1–E | ϵt−1 |））+ 0.966 ln（σt−12）

波动率分析

这是由ARMA（2,2）+ eGARCH（1,1）模型得出的条件波动图。

plot(cond_volatility)

显示了年条件波动率的线线图。

  1.  
     
  2.  
    pl <- lapply(2007:2018, function(x) { plot(cond_volatility[as.character(x)])
  3.  
    pl

显示了按年列出的条件波动率箱图。

2008年之后，日波动率基本趋于下降。在2017年，波动率低于其他任何年。不同的是，与2017年相比，我们在2018年的波动性显着增加。

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