[算法]二分匹配匈牙利算法

这篇文章讲无权二分图（unweighted bipartite graph）的最大匹配（maximum matching）和完美匹配（perfect matching），以及用于求解匹配的匈牙利算法（Hungarian Algorithm）；不讲带权二分图的最佳匹配。

二分图：简单来说，如果图中点可以被分为两组，并且使得所有边都跨越组的边界，则这就是一个二分图。准确地说：把一个图的顶点划分为两个不相交集

匹配：在图论中，一个「匹配」（matching）是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。例如，图 3、图 4 中红色的边就是图 2 的匹配。

Bipartite Graph(1) Bipartite Graph(2) Matching Maximum Matching

我们定义匹配点、匹配边、未匹配点、非匹配边，它们的含义非常显然。例如图 3 中 1、4、5、7 为匹配点，其他顶点为未匹配点；1-5、4-7为匹配边，其他边为非匹配边。

最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。图 4 是一个最大匹配，它包含 4 条匹配边。

完美匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。图 4 是一个完美匹配。显然，完美匹配一定是最大匹配（完美匹配的任何一个点都已经匹配，添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突）。但并非每个图都存在完美匹配。

举例来说：如下图所示，如果在某一对男孩和女孩之间存在相连的边，就意味着他们彼此喜欢。是否可能让所有男孩和女孩两两配对，使得每对儿都互相喜欢呢？图论中，这就是完美匹配问题。如果换一个说法：最多有多少互相喜欢的男孩/女孩可以配对儿？这就是最大匹配问题。

基本概念讲完了。求解最大匹配问题的一个算法是匈牙利算法，下面讲的概念都为这个算法服务。

交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交替路。

增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路（agumenting path）。例如，图 5 中的一条增广路如图 6 所示（图中的匹配点均用红色标出）：

增广路有一个重要特点：非匹配边比匹配边多一条。因此，研究增广路的意义是改进匹配。只要把增广路中的匹配边和非匹配边的身份交换即可。由于中间的匹配节点不存在其他相连的匹配边，所以这样做不会破坏匹配的性质。交换后，图中的匹配边数目比原来多了 1 条。

我们可以通过不停地找增广路来增加匹配中的匹配边和匹配点。找不到增广路时，达到最大匹配（这是增广路定理）。匈牙利算法正是这么做的。在给出匈牙利算法 DFS 和 BFS 版本的代码之前，先讲一下匈牙利树。

匈牙利树一般由 BFS 构造（类似于 BFS 树）。从一个未匹配点出发运行 BFS（唯一的限制是，必须走交替路），直到不能再扩展为止。例如，由图 7，可以得到如图 8 的一棵 BFS 树：

这棵树存在一个叶子节点为非匹配点（7 号），但是匈牙利树要求所有叶子节点均为匹配点，因此这不是一棵匈牙利树。如果原图中根本不含 7 号节点，那么从 2 号节点出发就会得到一棵匈牙利树。这种情况如图 9 所示（顺便说一句，图 8 中根节点 2 到非匹配叶子节点 7 显然是一条增广路，沿这条增广路扩充后将得到一个完美匹配）。

伪代码：

 1 bool 寻找从k出发的对应项出的可增广路
 2 {
 3     while (从邻接表中列举k能关联到顶点j)
 4     {
 5         if (j不在增广路上)
 6         {
 7             把j加入增广路;
 8             if (j是未盖点 或者 从j的对应项出发有可增广路)
 9             {
10                 修改j的对应项为k;
11                 则从k的对应项出有可增广路,返回true;
12             }
13         }
14     }
15     则从k的对应项出没有可增广路,返回false;
16 }
17 
18 void 匈牙利hungary()
19 {
20     for i->1 to n
21     {
22         if (则从i的对应项出有可增广路)
23             匹配数++;
24     }
25     输出 匹配数;
26 }

演示

模板

 1 /* **************************************************************************
 2 //二分图匹配（匈牙利算法的DFS实现）
 3 //初始化：g[][]两边顶点的划分情况
 4 //建立g[i][j]表示i->j的有向边就可以了，是左边向右边的匹配
 5 //g没有边相连则初始化为0
 6 //uN是匹配左边的顶点数，vN是匹配右边的顶点数
 7 //调用：res=hungary();输出最大匹配数
 8 //优点：适用于稠密图，DFS找增广路，实现简洁易于理解
 9 //时间复杂度:O(VE)
10 //***************************************************************************/
11 //顶点编号从0开始的
12 const int MAXN=510;
13 int uN,vN;//u,v数目
14 int g[MAXN][MAXN];
15 int linker[MAXN];
16 bool used[MAXN];
17 bool dfs(int u)//从左边开始找增广路径
18 {
19     int v;
20     for(v=0;v<vN;v++)//这个顶点编号从0开始，若要从1开始需要修改
21       if(g[u][v]&&!used[v])
22       {
23           used[v]=true;
24           if(linker[v]==-1||dfs(linker[v]))
25           {//找增广路，反向
26               linker[v]=u;
27               return true;
28           }
29       }
30     return false;//这个不要忘了，经常忘记这句
31 }
32 int hungary()
33 {
34     int res=0;
35     int u;
36     memset(linker,-1,sizeof(linker));
37     for(u=0;u<uN;u++)
38     {
39         memset(used,0,sizeof(used));
40         if(dfs(u)) res++;
41     }
42     return res;
43 }
44 //******************************************************************************/
45 
46

ps.我发现显示不出来图。点编辑能看aaa

[算法]二分匹配匈牙利算法

二分图的最大匹配、完美匹配和匈牙利算法