Critical Point

当我们观察训练集上的Loss出现如下两种形式时：

蓝色线：当Loss下降到一定程度后，便不再减小。但此时的Loss并不能满足我们对模型的要求。
橙色线：Loss一直没有下降。

在这里插入图片描述出现上述两种情况的原因可能是：损失函数的梯度（gradient）非常接近零，导致损失函数更新后不会下降。在训练过程中如果损失函数陷入局部最小值（Local minima）或鞍点（saddle point）都会出现上述优化失败的情况，这两种情况统称为critical point。
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Local Minima

对于很多非线性优化问题，会存在若干个局部最小值（Local Minima），其对应的解称为局部最小解（Local Minimizer）。

局部最小解定义

存在一个(delta>0)，对于所有的满足(||x-x^*|| le delta)的(x)，都有(f(x^*) le f(x))。也就是说，在(x^*)的邻域内，所有的函数值都大于等于(f(x^*))。

PS：此处的(x)指的是模型中的未知参数，即( heta)。

判断局部最小值

要确定一个点(x^*)是否为局部最小解，通过比较它的邻域内有没有更小的函数值是不现实的。如果函数(f(x))是二次连续可微的，我们可以通过检查目标函数在(x^*)的梯度( abla f(x^*))和Hessian矩阵( abla^2 f(x^*))来判断。

局部最小解的一阶必要条件：如果(x^*)为局部最小解并且函数(f)在(x^*)的邻域内一阶可微，则在( abla f(x^*)=0).

证明：
如果函数(f(x))是连续可微的，根据泰勒公式（Taylor‘s Formula），函数(f(x))的一阶展开可以近似为：

[f(x^*+Delta x) =f(x^*)+Delta x^T abla f(x^*) ]

假设( abla f(x^*) e 0)，则可以找到一个(Delta x)（比如(Delta x=-alpha abla f(x^*)), (alpha)为很小的正数），使得

[f(x^*+Delta x) -f(x^*) = Delta x^T abla f(x^*) le 0. ]

这和局部最小的定义矛盾。

局部最小解的二阶必要条件：如果(x^*)为局部最小解并且函数(f)在(x^*)的邻域内二阶可微，则在( abla f(x^*)=0), ( abla^2 f(x^*))为半正定矩阵。

证明：
如果函数(f(x))是二次连续可微，函数(f(x))的二阶展开可以近似为：

[f(x^* + Delta x) = f(x^*) + Delta x^T abla f(x^*) + frac{1}{2}Delta x^T ( abla^2 f(x^*) )Delta x ]

由一阶必要定理可知( abla f(x^*)=0)，则：

[f(x^* + Delta x) - f(x^*) = frac{1}{2} Delta x^T( abla^2f(x^*))Delta x ge 0. ]

即( abla^2f(x^*))为半正定矩阵。

Saddle Point

鞍点的叫法是因为其形状像马鞍．鞍点的特征是一阶梯度为 0，但是二阶梯度的 Hessian矩阵不是半正定矩阵。

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如上图所示：鞍点处，参数关于损失函数的一阶梯度为0。但鞍点在一些维度上是最小值，在另一些维度上又是最大值。通过某些方法是可以让优化方法逃离鞍点的。

判断Critical Point类型

当目标函数处于Critical Point时，可能是有Local min、Local max和Saddle point三种情况，如下图所示：
在这里插入图片描述
具体判断是哪一种情况，我们可以采用和判断是否为局部最小解一样的方法。

首先使用泰勒公式近似的表示Critical Point周围的点( heta)：

[L( heta) approx L( heta') + ( heta - heta')^Tg + frac{1}{2}( heta- heta')^TH( heta- heta') ]

其中(g)是一个向量，即：

[g = abla L( heta') qquad g_i=frac{partial L( heta')}{partial heta_i} ]

(H)是一个Hessian矩阵：

[H_{ij}=frac{partial^2L( heta')}{partial heta_i partial heta_j} ]

如下图所示，其中(( heta - heta')^Tg)表示绿线部分，(frac{1}{2}( heta- heta')^TH( heta- heta'))表示红线部分（同时表示critical points处的性质），两者同时来弥补(L( heta))和(L( heta'))之间的差异。
在这里插入图片描述
2. 因为目标函数处于Critical Point，所以此处的梯度(g)为0，所以上面的公式可以表示为：

[L( heta) approx L( heta') + frac{1}{2}( heta- heta')^TH( heta- heta') ]

从该公式中，我们可以看出( heta')处是何种critical point是取决于(frac{1}{2}( heta- heta')^TH( heta- heta'))的符号。
3. 令(( heta - heta') = v)，有：
1）当(H)是正定矩阵（所有的特征值是正的），有(v^THv>0)，也就是(L( heta)>L( heta'))，即( heta')处是Local minima。
2）当(H)是负定矩阵（所有的特征值是负的），有(v^THv<0)，也就是(L( heta)<L( heta'))，即( heta')处是Local maxima。
3）当(H)是半正定矩阵（特征值有正、有负），有时(v^THv>0)，有时(v^THv < 0)，也就是即( heta)处是Saddle Point。

以一个简单的例子来看：
Function: (y=w_1w_2x)，如下图所示：
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这里令(x=1 quad hat{y}=1)

根据(g=0)可以求得(w_1=0 和 w_2=0)，由此得到hessian，并解出特征值(lambda_1=2)和(lambda_2=-2)，所以(x)位于Saddle Point处。

参考资料：

《神经网络与深度学习》邱锡鹏
有关正定矩阵知识：https://blog.csdn.net/asd136912/article/details/79146151