难题征解

难题征解

版本：2019-07-28 @阆苑祁寒

——这位客官，里面请。

——小二，请上题。

p_1(algebra·done)

s_1

　　提示：构造分块矩阵$egin{pmatrix}I_m&B \ C&I_nend{pmatrix},egin{pmatrix}A&-B \ C&I_nend{pmatrix}$，两种LDU分解方式，比较对应项即证。

p_2(algebra)

h_2

　　提示：莫比乌斯变换的矩阵表示.

p_3(algebra·done)

s_3

　　提示：归纳法，或者从基础矩阵入手.

p_4(calculus·done)

s_4

　　提示：Largrange恒等式.

p_5(algebra)

设复系数多项式$f(x)=sumlimits_{i=0}^mf_ix^i$,$g(x)=sumlimits_{i=0}^ng_ix^i$,$m=n,(f_n,g_n) e(0,0),n$阶方阵$B=(b_{ij})$称为Bezout方阵,$det(B)$称为Bezout结式,记作$B(f,g)$,其中$B$满足$dfrac{f(x)g(y)-f(y)g(x)}{x-y}=sumlimits_{i,j=1}^nb_{ij}x^{i-1}y^{j-1}$.求证：

(1)形式上$det(B)=(-1)^{frac{n(n+1)}{2}}R(f,g)$.

(2)rank($B$)=$n-deg(gcd(f,g))$.

p_6(algebra)

设$A=(a_{ij})$是$n$阶方阵,证明：
$$detBigl(A^*[egin{smallmatrix}i_1&i_2&cdots&i_r \ j_1&j_2&cdots&j_rend{smallmatrix}]Bigr)=(-1)^{ au(i_1,i_2,cdots,i_n)+ au(j_1,j_2,cdots,j_n)}det(A)^{r-1}detBigl(A[egin{smallmatrix}j_{r+1}&j_{r+2}&cdots&j_n \ i_{r+1}&i_{r+2}&cdots&i_nend{smallmatrix}]Bigr)$$
其中$(i_1,i_2,cdots,i_n)$和$(j_1,j_2,cdots,j_n)$都是$(1,2,cdots,n)$的排列,$1le r<n$.

p_7(algebra)

设$1le i,jle n,s_k=sumlimits_{i=1}^nx_i^k$,计算下列行列式.$detleft(C_{p+i}^{q+j} ight),p-qge n-1$.

p_8(algebra)

设$A=(a_{ij})_{n imes n} eq O$,$forall i,sumlimits_{j=1}^na_{ij}=sumlimits_{j=1}^na_{ji}=0$,求$A^*$.

p_9(algebra)

$Omega=(omega^{(i-1)(j-1)})_{n imes n}$,为什么$Omega^6=Omega^2Omega^4 eq(Omega^3)^2$?

p_10(complex function)

Laplace算子$Delta:=frac{partial^2}{partial x^2}+frac{partial^2}{partial y^2}$，证明：$Delta=4frac{partial}{partial z}frac{partial}{partial overline{z}}=4frac{partial}{partial overline{z}}frac{partial}{partial z}$.

p_11(complex function)

证明$f(x+yi)=sqrt{|x||y|},x,yinmathbb{R}$在原点处满足Cauchy-Riemann条件但不全纯.

p_12(complex function)

设$f(z)=sum_{n=0}^infty a_nz^n$，幂级数收敛半径为$R$，求证：$f$可以在$D_R(0)$内幂级数展开.

p_13(complex function)

设在$z$处有幂级数展开$(1-z)^{-m}=sum_{n=0}^infty a_nz^n$，证明$a_nsimfrac{n^{m-1}}{(m-1)!}(n oinfty)$，其中$minmathbb{N}$.

p_14complex function)

设$zin D_1$，证明$frac{z}{1-z}=sum_{n=0}^inftyfrac{z^{z^n}}{1-z^{2^{n+1}}}=sum_{n=0}^inftyfrac{2^nz^{2^n}}{1+z^{2^n}}$，并讨论求和次序的合理性.

p_15(complex function)

证明$mathbb{N}$能写为有限个步不同的算术集合的并当且仅当$a=d=1$.定义算术集合$S={a,a+d,a+2d,cdots}$和算术集合的步$d$，其中$a,dinmathbb{N}$.

p_16(complex function)

设$ninmathbb{N}$，给出积分$int_gamma z^ndz$的一个估计，其中$gamma$分别是$D_r(0)$的正向边界和$D_r(0)ackslash{0}$的正向边界.设开盘$D_r(0)$的半径满足$|a|<r<|b|$，当$gamma$是开盘$D_r(0)$正向边界时，证明$int_gammafrac{dz}{(z-a)(z-b)}=frac{2pi i}{a-b}$.

p_17(waiting)

部分疑难问题迁移到了大学数学专栏

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