严格次小生成树

思路
- 证明
代码

思路

我们首先求出最小生成树，可知次小生成树与最小生成树只有一边之差（恶心）。

证明

我们先求一个最小生成树。
然后，我们加入一条没有使用过的边加入，就会形成一个环。
我们设这个环上最大值为(Val_1)，次大值为(Val_2)。
所以我们(Val_1>Val_2)。
我们将加入的边替换掉(Val_1)时

ans=ans-val1+z;

其中(z)为多余边。

但当我们的(Val_1)等于加入的边时，我们就要替换(Val_1)不是答案，我们就要替换(Val_2)。
我们将加入的边替换掉(Val_2)时

ans=ans-val2+z;

我们把得出的值求出最小值就可以了。

但我们有一个很严肃的问题：我们这么求最小值和次小值？

我们就使用(LCA)来计算路径上的最大值和次大值。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,fa[100005],head[100005],ver[200005],edge[200005],next[200005],cnt,ans=0x3f3f3f3f;
long long sum;
struct node{
	int u,v,w;
	bool flag;
	node(){ flag=u=v=w=0; }
	bool operator <(const node &x) const { return w<x.w; }
}a[300005];

int find(int x) {
	if(fa[x]==x) return fa[x];
	return fa[x]=find(fa[x]);
}

void add_edge(int u,int v,int w) { ver[++cnt]=v,edge[cnt]=w,next[cnt]=head[u],head[u]=cnt; }

void Kurskal() {
	int k=1;
	for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
	sort(a+1,a+m+1);
	for(int i=1;k<n;i++) {
		int s1=find(a[i].u),s2=find(a[i].v);
		if(s1!=s2) {
			fa[s1]=s2;
			a[i].flag=1;
			add_edge(a[i].u,a[i].v,a[i].w),add_edge(a[i].v,a[i].u,a[i].w);
			k++,sum+=a[i].w;
		}
	}
	return ;
}

int dep[100005],f[100005][25],maxx[100005][25],smax[100005][25];
void dfs(int x) {
	for(int i=0;f[x][i];i++) {
		f[x][i+1]=f[f[x][i]][i];
		maxx[x][i+1]=max(maxx[x][i],maxx[f[x][i]][i]);
		if(maxx[x][i]==maxx[f[x][i]][i]) smax[x][i+1]=max(smax[x][i],smax[f[x][i]][i]);
		else smax[x][i+1]=max(min(maxx[x][i],maxx[f[x][i]][i]),max(smax[x][i],smax[f[x][i]][i]));
	}
	for(int i=head[x];i;i=next[i]) {
		int v=ver[i];
		if(v!=f[x][0]) {
			dep[v]=dep[x]+1,maxx[v][0]=edge[i],smax[v][0]=-1,f[v][0]=x;
			dfs(v);
		}
	}
	return ;
}

int LCA(int a,int b){
    if(dep[a]<dep[b]) swap(a,b);
    int d=dep[a]-dep[b];
    for(int i=0;d;i++,d>>=1)
        if(d & 1) a=f[a][i];
    if(a==b) return a;
    for(int i=20;i>=0;i--)
        if(f[a][i]!=f[b][i]) a=f[a][i],b=f[b][i];
    return f[a][0];
}

void work(int u,int v,int w) {
	int d=dep[u]-dep[v];
	int m1=0,m2=0;
	for(int i=0;d;i++,d>>=1) {
		if(d & 1) {
			m2=max(m2,smax[u][i]);
			if(maxx[u][i]>m1) {
				m2=max(m2,m1);
				m1=maxx[u][i];
			}
		}
	}
	if(m1==w) ans=min(ans,w-m2);
	else ans=min(ans,w-m1);
}

int main() {
	scanf("%d %d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d %d %d",&a[i].u,&a[i].v,&a[i].w);
	Kurskal();
	dfs(1);
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		if(a[i].flag) continue;
		int u=a[i].u,v=a[i].v;
		int lca=LCA(u,v);
		work(u,lca,a[i].w),work(v,lca,a[i].w);
	}
	printf("%lld",sum+ans);
	return 0;
}