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Vandermonde 矩陣的逆矩陣公式
本文的閱讀等級:初級
考慮下列 階 Vandermonde 矩陣
,
記為 或
,其中
。Vandermonde 矩陣
有一個簡單的行列式公式,如下 (見“特殊矩陣 (8):Vandermonde 矩陣”):
。
當 互異時,
,
是可逆矩陣。本文利用伴隨 (adjugate) 矩陣及行列式公式推導 Vandermonde 矩陣
的逆矩陣。
令 為 Vandermonde 矩陣
的伴隨矩陣,其
元即為
的餘因子 (cofactor)
,如下 (見“行列式的運算公式與性質”):
,
其中 代表移除
的第
列和第
行後得到的
階子陣。方陣
與其伴隨矩陣
具有下列關係:
。
若 可逆,即得
。
以 為例,
且 ,也就得到逆矩陣
。
運用同樣方法也可以導出 階 Vandermonde 矩陣的逆矩陣。下面我們將移除
的第
列和第
行所得的
階子陣表示為
。
對於 ,
,
故逆矩陣的各元為
。
解出 的首要工作在於設法化簡
階行列式
和
階行列式
。注意,
並非
階 Vandermonde 矩陣。觀察發現
和
的主要差別在於前者不含
,而後者則缺
。揭開這兩個矩陣的行列式關係即可消去
的分子和分母所含的行列式。
為了方便,下面我們將長度為 的序列
替換為
。考慮
階 Vandermonde 矩陣
,也就有
。
利用 Vandermonde 矩陣的行列式公式,區分兩種情況: 和
,立得
以下稱為第一表達式。另一方面,針對 的最末行計算 Laplace 展開式 (見“行列式的運算公式與性質”),可得
此為第二表達式。利用基本對稱函數 (elementary symmetric function,見“特徵多項式預藏的訊息”):
不難驗證
將上式代入第一表達式,再與第二表達式比較各項係數,可推得
,
其中 。
利用上面得到的等式,以 取代
,
替換
,餘因子
可表示為
,
再化簡 ,如下:
最後一個步驟寫出基本對稱函數的完整表達式。