欧拉函数

欧拉定理:

对于互质的整数a和n,有a^φ(n) ≡ 1 mod n ( ≡ 同于符号)。证明略过。

费马小定理 a^(p-1) ≡ 1(mod p，p是质数,所以φ(p) = p - 1); 对于不能被质数p整除的正整数a，有a^p ≡ a mod p

1)互质:

1.定义

互质: 又叫互素。若n个整数的最大公因数是1,则称这n个整数互质。（1和任何数都互质）。

2.判断方法

（1）2个不同的质数一定是互质数。

（2）一个质数，另一个不为它的倍数，这两个数一定互质。

（3）1不是质数也不是合数，它和任何一个自然数在一起都是互质数。

（4）相邻的两个自然数是互质的。如15 和 16

（5）相邻的两个奇数都是互质的。如49 和 51

（6）较大数是质数的两个数互质。根据（2）得到

（7）两个数都是合数（差较大），较小数所有的质因数，都不是较大数的约数，这两个数是互质数。如357 和 715， 357 = 3 * 7 * 17，而3、7和17都不是715的约数，这两个数互质。

（8）两个数都是合数（差较小），这两个数的差的所有质因数都不是较小数的约数，这两个数是互质数。如85 和 78。85 - 78 = 7, 7不是78的约数，这两个数是互质数。

（9）两个数都是合数，较大数除以较小数的余数（不为0且大于1）的所有的质因数，都不是较小数的约数，这连个数互素。

2)欧拉函数:

1.基本内容

对于正整数n，欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。如 φ(8) = 4,因为1 3 5 6都与8互质。

通式: φ(x) = x*(1-1/p1) *(1-1/p2)*(1-1/p3)*(1-1/p4)*...*(1-1/pn);其中p1,p2,...pn为x的所有的质因数，x是不为0的整数。 φ(1) = 1;

(1)p^k的欧拉函数

对于给定的一个素数p，φ(p) = p - 1。则对于正整数n = p^k

(n是质数p 的倍数)，φ(n) = p^k - p^(k-1)。

(2)p * q的欧拉函数

假设p,q是2个互质的正整数,则p*q的欧拉函数为φ(p * q) = φ(p)*φ(q);

gcd(p,q) = 1。

(3)任意正整数的欧拉函数

Φ(n) = ∏ p_i^k_i^-1(p_i-1) = n ∏ (1 - 1 / pi)

i=1 i=1

对于任意 n > 2，2 | Φ(n) ,因为必存在 p_i-1 是偶数。

∏表示连乘符号。

设a为N的质因数，若(N % a == 0 && (N / a) % a == 0) 则有E(N)=E(N / a) * a；若(N % a == 0 && (N / a) % a != 0) 则有：E(N) = E(N / a) * (a - 1)。

2.模板:

int ef(int n) 
{ 
    int cnt=n; 
    int i; 
    for(i=2;i<=n;i++) 
        if(n%i==0) 
        { 
            cnt - =cnt/i;      //   (x-x/p1) *(1-1/p2)*(1-1/p3)*(1-1/p4).....
            while(n%i==0) 
                n/=i; 
        } 
        return cnt; 
}

求2 ~ n每个数的欧拉函数。

#include<map>
#include<set>
#include<string>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<time.h>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define INF 1000000001
#define ll long long
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
using namespace std;
const int MAXN = 5000010;
int isnotprime[MAXN],prime[MAXN],cnt;
int er[MAXN];
int L,R;
void Init()
{
    cnt = 0;
    memset(er,0,sizeof(er));
    memset(isnotprime,0,sizeof(isnotprime));
    for(int i = 2; i < MAXN; i++){
        if(!isnotprime[i]){
            er[i] = i - 1;
            prime[cnt++] = i;
        }
        for(int j = 0; j < cnt && 1LL * i * prime[j] < MAXN; j++){
            isnotprime[i * prime[j]] = 1;
            if(i % prime[j] == 0){
                er[i * prime[j]] = er[i] * prime[j];
                break;
            }
            else {
                er[i * prime[j]] = er[i] * (prime[j] - 1);
            }
        }
    }
}
int main()
{
    Init();
    while(~scanf("%d%d",&L,&R)){
        int ans,num;
        ans = L;
        num = er[L];
        for(int i = L + 1; i <= R; i++){
            if(er[i] < num){
                num = er[i];
                ans = i;
            }
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}