递归真的好难啊！！！ 看完之后好多了

递归

什么是递归

在程序中, 所谓的递归, 就是函数自己直接或间接的调用自己.

1. 直接调用自己
2. 间接调用自己

就递归而言最重要的就是跳出结构. 因为跳出了才可以有结果.

所谓的递归就是化归思想

递归的调用, 写递归函数, 最终还是要转换为自己这个函数.

假如有一个函数 f, 如果它是递归函数的话, 那么也就是说 函数体内的问题还是转换为 f 的形式.

递归思想就是将一个问题转换为一个已解决的问题来实现

	function f() {
		... f( ... ) ...
	}

例子: 1, 2, 3, 4, 5, ..., 100

1. 首先假定递归函数已经写好, 假设是 foo. 即 foo( 100 ) 就是求 1 到 100 的和
2. 寻找递推关系. 就是 n 与 n-1, 或 n-2 之间的关系: foo( n ) == n + foo( n - 1 )

	var res = foo( 100 );
	var res = foo( 99 ) + 100;

3. 将递推结构转换为 递归体

	function foo( n ) {
		return n + foo( n - 1 );
	}

* 将 求 100 转换为 求 99
* 将 求 99 转换为 求 98
* ...
* 将求 2 转换为 求 1
* 求 1 结果就是 1
* 即: foo( 1 ) 是 1

4. 将临界条件加到递归体中

	function foo( n ) {
		if ( n == 1 ) return 1;
		return n + foo( n - 1 );
	}

看看我出的练习吧
求 1, 3, 5, 7, 9, ... 第 n 项的结果与前 n 项和. 序号从 0 开始

求第 n 项的

1. 首先假定递归函数已经写好, 假设是 fn. 那么 第 n 项就是 fn( n )
2. 找递推关系: fn( n ) == f( n - 1 ) + 2
3. 递归体

	function fn( n ) {
		return fn( n-1 ) + 2;
	}

4. 找临界条件
   • 求 n -> n-1
   • 求 n-1 -> n-2
   • ...
   • 求 1 -> 0
   • 求 第 0 项, 就是 1
5. 加入临界条件

	function fn( n ) {
		if ( n == 0 ) return 1;
		return fn( n-1 ) + 2;
	}

前n项和

1. 假设已完成, sum( n ) 就是前 n 项和
2. 找递推关系: 前 n 项和 等于 第 n 项 + 前 n-1 项的和
3. 得到递归体

	function sum( n ) {
		return fn( n ) + sum( n - 1 );
	} 

4. 找临界条件
   • n == 1 结果为 1
5. 得到递归函数

	function sum( n ) {
		if ( n == 0 ) return 1;
		return fn( n ) + sum( n - 1 );
	} 

2, 4, 6, 8, 10 第 n 项与 前 n 项和

第n项

function fn( n ) {
	if ( n == 0 ) return 2;
	return fn( n-1 ) + 2;
}

前n项和

function sum( n ) {
	if ( n == 0 ) return 2;
	return sum( n - 1 ) + fn( n );
}

数列: 1, 1, 2, 4, 7, 11, 16, … 求 第 n 项, 求前 n 项和.

求第 n 项

1. 假设已经得到结果 fn, fn( 10 ) 就是第 10 项
2. 找递推关系
   • 0, 1 => fn( 0 ) + 0 = fn( 1 )
   • 1, 2 => fn( 1 ) + 1 = fn( 2 )
   • 2, 3 => fn( 2 ) + 2 = fn( 3 )
   • ...
   • n-1, n => fn( n-1 ) + n - 1 = fn( n )
3. 递归体也就清楚了, 临界条件是 n == 0 => 1

	function fn( n ) {
		if ( n == 0 ) return 1;
		return fn( n-1 ) + n - 1;
	}

如果从 1 开始表示, 那么第 n 项为

1. 假设已经得到结果 fn, fn( 10 ) 就是第 10 项
2. 找递推关系
   • 1, 2 => fn( 1 ) + 0 = fn( 2 )
   • 2, 3 => fn( 2 ) + 1 = fn( 3 )
   • 3, 4 => fn( 3 ) + 2 = fn( 4 )
   • ...
   • n-1, n => fn( n-1 ) + n - 2 = fn( n )
3. 临界条件 n == 1 => 1

前n项和

	function sum( n ) {
		if ( n == 0 ) return 1;
		return sum( n - 1 ) + fn( n );
	}

如果从 0 开始

0  1  2  3  4  5   6
1, 1, 2, 4, 7, 11, 16,

如果从 1 开始

1  2  3  4  5  6   7
1, 1, 2, 4, 7, 11, 16,

Fibonacci 数列: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
求其第 n 项.

递推关系 fn(n) == fn( n- 1) + fn( n - 2)

	function fib( n ) {
		if ( n == 0 || n == 1 ) return 1;
		return fib( n - 1 ) + fib( n - 2 );
	}

阶乘是什么鬼都不知道 没读过书 没办法

阶乘是一个运算, 一个数字的阶乘表示的是从 1 开始 累乘到这个数字. 例如 3! 表示 1 * 2 * 3.
5! 就是 1 * 2 * 3 * 4 * 5. 规定 0 没有阶乘, 阶乘 从 1 开始.

求 n 的阶乘

	function foo ( n ) {
		if ( n == 1 ) return 1;
		return foo( n - 1 ) * n;
	}

求幂

求幂就是求 某一个数 几次方

2*2 2 的 平方, 2 的 2 次方

求 n 的 m 次方

最终要得到一个函数 power( n, m )

n 的 m 次方就是 m 个 n 相乘 即 n 乘以 (m-1) 个 n 相乘

	function power ( n, m ) {
		if ( m == 1 ) return n;
		return power( n, m - 1 ) * n;
	}