一、单变量线性回归：
m训练样本，x输入变量特征（单变量特征只有一个），y输出变量即预测。如何用m个，特征为x的训练样本，来得到预测值？
假设函数：
代价函数：
优化目标：使用梯度下降法优化θ值来最小化代价函数J。
梯度是一个矢量，指其方向上的方向导数最大，即增长最快。
梯度下降法算法思想：
1） 初始化θ值，通常设为[0;0];
2） 不断改变θ大小来改变代价函数J，收敛至局部最小值。
注：θ的初始值不同最后得到的局部最优解也不同。参考图1-蒙着眼睛下山问题。
图1-蒙着眼睛下山
二、多变量线性回归：
单变量与多变量线性回归的梯度下降算法：
三、梯度下降法
1.特征缩放：
通常进行均值归一化：X1 =（X1 –均值）/ (max – min)，使X1属于（-3,3）或者（-0.33，0.33）。其中max-min值不一定，只要值与其相近就可以，目的在于缩放。
2. α学习率
四、正规方程
区别于上述迭代方法（梯度下降）的直接方法。
五、第一次编程作业
1.单变量
（1）.computeCost.m
完成对代价函数——
的代码化。
function J = computeCost(X, y, theta) %COMPUTECOST Compute cost for linear regression % J = COMPUTECOST(X, y, theta) computes the cost of using theta as the % parameter for linear regression to fit the data points in X and y % Initialize some useful values m = length(y); % number of training examples % You need to return the following variables correctly J = 0; % ====================== YOUR CODE HERE ====================== % Instructions: Compute the cost of a particular choice of theta % You should set J to the cost. M = (X*theta-y).^2; J = sum(M(:))/m*0.5; % ========================================================================= end
（2）.gradientDescent.m
利用上述公式在for循环里实现梯度下降。
function [theta, J_history] = gradientDescent(X, y, theta, alpha, num_iters)
%GRADIENTDESCENT Performs gradient descent to learn theta
% theta = GRADIENTDESCENT(X, y, theta, alpha, num_iters) updates theta by
% taking num_iters gradient steps with learning rate alpha
% Initialize some useful values
m = length(y); % number of training examples
J_history = zeros(num_iters, 1);
for iter = 1:num_iters
temp0 = theta(1)-sum((X*theta-y),1)/m*alpha
temp1 = theta(2)-(X(:,2))'*(X*theta-y)/m*alpha
theta(1) = temp0
theta(2) = temp1
% ====================== YOUR CODE HERE ======================
% Instructions: Perform a single gradient step on the parameter vector
% theta.
%
% Hint: While debugging, it can be useful to print out the values
% of the cost function (computeCost) and gradient here.
%
% ============================================================
% Save the cost J in every iteration
J_history(iter) = computeCost(X, y, theta);
end
end
注：下面是错误的，因为进行梯度下降的时候是同时更新θ值。如果采用下面表达，更新θ2时，theta已经改变，破坏了同时更新。
theta(1)= theta(1)-sum((X*theta-y),1)/m*alpha
theta(2)= theta(2)-(X(:,2))'*(X*theta-y)/m*alpha
2.多变量
（1）FeatureNormalize.m
特征缩放，进行均值归一化
mu = mean(X,1); sigma = std(X); X_norm = (X_norm - mu)./sigma;
（2）computeCostMulti.m
代价函数与单变量一样
（3）gradientDescentMulti.m
与单变量不同，对θ矢量化
for iter = 1:num_iters
for i = 1:size(X,2)
temp(i,1) = theta(i)-(X(:,i))'*(X*theta-y)/m*alpha;
end
theta = temp;
（4）预测价格
price = [1 ([1650 3]-mu)./sigma]*theta;
上述进行了特征缩放，故例子中的两个特征也须进行特征缩放。该方法预测结果如下：
3.正规方程
normalEqn.m
function [theta] = normalEqn(X, y) %NORMALEQN Computes the closed-form solution to linear regression % NORMALEQN(X,y) computes the closed-form solution to linear % regression using the normal equations. theta = zeros(size(X, 2), 1); % ====================== YOUR CODE HERE ====================== % Instructions: Complete the code to compute the closed form solution % to linear regression and put the result in theta. % % ---------------------- Sample Solution ---------------------- theta = pinv((X'*X))*X'*y; % ------------------------------------------------------------- % ============================================================ end
正规方程中没有进行特征缩放，故预测价格代码如下。
price = [1 1650 3]*theta;
该方法预测结果如下：
