一、题目描述

王强今天很开心，公司发给N元的年终奖。王强决定把年终奖用于购物，他把想买的物品分为两类：主件与附件，附件是从属于某个主件的，下表就是一些主件与附件的例子：

主件	附件
电脑	打印机，扫描仪
书柜	图书
书桌	台灯，文具
工作椅	无

如果要买归类为附件的物品，必须先买该附件所属的主件。每个主件可以有 0 个、 1 个或 2 个附件。附件不再有从属于自己的附件。王强想买的东西很多，为了不超出预算，他把每件物品规定了一个重要度，分为 5 等：用整数 1 ~ 5 表示，第 5 等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是 10 元的整数倍）。他希望在不超过 N 元（可以等于 N 元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。

设第 j 件物品的价格为 v[j] ，重要度为 w[j] ，共选中了 k 件物品，编号依次为 j1 ， j2 ，……， jk ，则所求的总和为：

v[j1 ]*w[j1 ]+v[j2 ]*w[j2 ]+ … +v[jk ]*w[jk ] 。（其中 * 为乘号）

请你帮助王强设计一个满足要求的购物单。

输入描述

输入的第 1 行，为两个正整数，用一个空格隔开：N m

（其中 N （ <32000 ）表示总钱数， m （ <60 ）为希望购买物品的个数。）

从第 2 行到第 m+1 行，第 j 行给出了编号为 j-1 的物品的基本数据，每行有 3 个非负整数 v p q

（其中 v 表示该物品的价格（ v<10000 ）， p 表示该物品的重要度（ 1 ~ 5 ）， q 表示该物品是主件还是附件。如果 q=0 ，表示该物品为主件，如果 q>0 ，表示该物品为附件， q 是所属主件的编号）

输出描述

输出文件只有一个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值（ <200000 ）

示例输入

示例输出

二、分组背包问题

我们可以看到，这道题目里面不同于0/1背包问题，它有个主件与附件的依赖问题（买主件就必须买附件），所以这就用到我们的分组背包问题。

分组背包问题首先要做的就是分组，分好组之后，若组内的选择大于一种，则只能在组内选择其中一种，或者全部不选，然后再按照0/1背包问题去构建二维数组即可。

举个简单的例子：

假设有五件物品：1,2,3,4,5，分组情况为（1,2），（3,4），（5），且问题描述与0/1背包问题相同。

我们就可以画出二维数组如下：

	1	2	3	...
1,2	B(1,1)	B(1,2)	B(1,3)	...
3,4	B(2,1)	B(2,2)	B(2,3)	...
5	B(3,1)	B(3,2)	B(3,3)	...

我们以计算B(2,3)为例：

在将第二组考虑进来之后，我们只能选择要不全部不选，要不只选择物品3，要不只选择物品4，所以我们可以得到下面的公式：

当然，物品3或者4可选的前提条件是 j >= w[3] 或 j >= w[4]。若不满足该条件则不加进来作比较。

三、题解

根据题目描述的主件与附件的关系，我们可以分组如下：

第一组：[ ] 空列表

第二组：[ (1, ), (1, 2 ), (1, 3 ), (1, 2, 3)] 主件1与其附件的选择

第三组：[ ( 4，), ] 物品4

第四组：[ ( 5，), ] 物品5

故我们可以画出二维数组如下：

	0	10	20	...	1000
[ ]
[ (1, ), (1, 2 ), (1, 3 ), (1, 2, 3)]		B(2,j)
[ ( 4，), ]
[ ( 5，), ]

同样以B(2, j)为例，我们看一下求解公式：

四、代码实现

接下来我们用代码实现上述算法：

首先为了构建分组，我们这里用到了python中的chain与combinations模块

from itertools import chain,combinations

def powerset(iterable):
    # powerset([1,2,3]) ——> [(),(1,),(2,),(3,),(1,2,),(1,3),(2,3),(1,2,3)]
    s = list(iterable)
    return list(chain.from_iterable(combinations(s,r) for r in range(len(s)+1)))

记下来写主代码：

初始化：

from collections import defaultdict

capacity,num = list(map(int,input().split()))
p = [0] # 价格
w = [0] # 重要程度
c = [0] # 从属关系
d = defaultdict(list)  # d[key] 默认为[]
for i in range(num):
    price,weight,cate = list(map(int,input().split()))
    p += [price]
    w += [weight]
    c += [cate]

分组：

for i in range(1,num+1):
    if c[i] == 0:
        d[i] =[]
for i in range(1,num+1):
    if c[i] != 0:
        d[c[i]].append(i)

groups = [[0]] # 分组
for k,v in d.items():
    l = powerset(v)
    l = list(map(lambda x: x+(k,),l))
    groups.append(l)

动态规划：

table = [[0 for column in range(int(capacity//10)+1)] for row in range(len(groups))]
for i in range(1,len(groups)):
    for j in range(1,int(capacity//10)+1):
        competition = [table[i-1][j]]
        for group in groups[i]:
            sum_price = 0
            sum_weight_price = 0
            for item in group:
                sum_price += p[item] # 把每个item价格加起来
                sum_weight_price+=p[item]*w[item]
            if j*10 >= sum_price:
                competition += [table[i-1][j-int(sum_price/10)]+sum_weight_price] #加上一个group的对应值
        table[i][j] = max(competition)
print(table[-1][-1])