(quadquadquadquad *****以下为原文第7页内容*****)
(构成这本小册子的主题思想的那些想法，在1858年秋天，第一次引起了我的注意。作为苏黎世理工学校的教授，我第一次感到自己有义务把)
(并且我们可以假设u是满足这个条件的最小正整数：其平方乘以D后，可以一个正数t的平方。因为显然)
(quadquadquad lambda u <t<(lambda +1)u,)
(数字u'=t-lambda u 是一个正整数，当然小于u。如果我们进一步设)
(quadquadquad t'=Du-lambda t,)
(t'同样是一个正整数，并且我们有)
(quadquad t'^2-Du=(lambda^2-D)(t^2-Du^2)=0)
(这显然与我们对u的假设矛盾。)
(quadquad 这样，每个有理数x的平方或者<D,或者>D。由此可见，A1中无最大数，A2中无最小数。因为我们可以设)
(y=frac{x(x^2+3D)}{3x^2+D})
(我们得到)
(y-x=frac{2x(D-x^2)}{3x^2+D})
(并且)
(y^2-D=frac{(x^2-D)^3}{(3x^2+D)^2})
(此时，如果x是属于A_{1}的正数,那么x^2<D,此时y>x,且y^2<D。则y属于A_{1}。但是，如果我们假设x属于A_{2},则有x^2>D,y>0,于是y<x,)
(y>0,且y^2>D。因此，y属于A_{2}。由此可见，这个分割是由非有理数产生的。)
(quad 并非所有的分割都是由有理数产生这个事实，说明有理数域R是不完备的，或者是说不连续的。)
(quadquad 只要我们遇到一个由非有理数产生的分割，我们就创造出了一个新的，一个无理数alpha,我们认为其完全由分割cut(A1,A2)产生；)
(我们应该说这个新数alpha 对应于这个分割，或者说它产生了这个分割。从现在开始，每一个确定的分割都对应于一个确定的有理数或无理数，)
(只要两个分割本质上不同，我们就说产生这两个分割的数不等。)
(quad 为了获得全体实数，即有理数和无理数的有序排列的基础，我们必须研究分别由alpha 和eta 产生的两个分割)
((A_{1},A_{2})和(B_{1},B_{2})中间的关系。显然，当分割(A_{1},A_{2})中的一个，例如A_{1}给定之后，这个分割就完全确定了，因为A_{2})
(就是有理数去掉A_{1}后剩下的全体有理数。分割中的第一个类，具有这样的特性，如果a_{1}是第一类的元素，那么所有小于a_{1}的数，都包含在)