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(构成这本小册子的主题思想的那些想法，在1858年秋天，第一次引起了我的注意。作为苏黎世理工学校的教授，我第一次感到自己有义务把)
(quad 证明：在把实数域R分割成两个部分 riangle_{1}和 riangle_{2}的同时，有理数域也被分成了两部分A_{1}和A_{2}，这个有理数域的分割定义是：A_{1})
(了所有 riangle_{1}中的有理数，A_{2}包含了所有 riangle_{2}中的有理数。假设alpha是产生(A_{1},A_{2})的数，若eta是一个异于alpha的数，那么)
(alpha和eta中间存在无穷多有理数c。若eta<alpha,则c<alpha；这样c属于A_{1},自然属于 riangle_{1},与此同时,eta<c,所以eta也属)
(于A_{1}。若eta>alpha,则c>alpha,这样c属于A2,因此c也属于 riangle_{2},故，由于c<eta,所以eta也属于 riangle_{2}。这样，每个异于alpha)
(的数eta或者属于类 riangle_{1}或者属于类 riangle_{2},取决于eta > alpha还是eta < alpha;于是alpha或者是 riangle_{1}中的最大值，或者是)
( riangle_{2}中的最小值，即alpha 是一个且是唯一一个产生分割( riangle_{1}, riangle_{2})的数。证毕。)
(quadquad IVquad实数的四则运算)
(quadquad 要把实数的任意操作简化为有理数的操作，只需通过alpha和eta 生成的类(A_{1},A_{2})和(B_{1},B_{2})定义分割(C_{1},C_{2}),)
(该分割对应于gamma。本文只讨论最简单的加法操作.)
(quadquad 设c是任意有理数，如果在A_{1}中存在a_{1}，B_{1}中存在b_{1},有cleq a_{1}+b_{1}，那么c属于C_{1}类，其他有理数)
(归于C_{2}。这样的分组C_{1},C_{2}，显然构成了一个分割,以为每一个C_{1}中的数c_{1}，都小于C_{2}中的数c_{2}。若alpha和eta都是有理数，)
(那么包含于C_{1}中的每个数c_{1}都leq alpha+eta,这是因为a_{1}leq alpha,b_{1}leq eta,进而a_{1}+b_{1}leq alpha+eta)
(更近一步，假设C_{2}中包含c_{2},有c_{2}<alpha+eta,于是有alpha+eta=c_{2}+p,这里p是正有理数，那么有)
(quadquadquadquadquad c_{2}=(alpha-frac{1}{2}p)+(eta-frac{1}{2}p))
(与c_{2}定义矛盾，因为alpha-frac{1}{2}p属于A_{1}，eta-frac{1}{2}p属于B_{1}。由此可见，C_{2}中的每个数c_{2}都有)
(c_{2}geq alpha+eta。这样，我们把实数alpha+eta的和理解为产生分割(C_{1},C_{2})的数字gamma,就不会违法有理数中的加法。)
(进一步考虑，如果alpha和eta中只有一个有理数，例如，alpha是有理数，eta是无理数，易见，不管alpha属于A_{1}还是A_{2}，)
(和依然是gamma=alpha+eta，没有任何不同。)
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(quadquad 加法的定义完成之后，其他的运算，诸如减法，乘除，求根，等等，就都已确定，继续走下去，我们就碰到了这个定理的真正证明(如，)
(sqrt{2}sqrt{3}=sqrt{6}),这个证明据我所知，此前尚未有过。这些操作的定义都是本质性的，而且非常繁琐冗长，令人生畏，)
(但是大部分是可以省略的。与之有关联的一个概念，就是“区间”。即，一个有理数系统A有如下特征：若a和a'属于A，)
(那么a和a'中间的数，都属于A。实数系统R和实数上的所有分割对，都是区间（我注，都是无穷区间）。)
(如果a小于A中所有数， a'大于A中所有数，那么A叫做有限区间（我注：而且是开区间）)