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英语单词: lagrange mean value theorem
auxiliary function
construction of the auxiliary function
有多种构造方法, 辅助函数不止一个
一，几何方法,多种
思路:设构造出的辅助函数为F，必须有F(a)=F(b)，才能应用罗尔中值定理
(注意，是F(a)=F(b),而非F(a)=F(b)=0,不需要等于0)
(方法1：让F(x)曲线的弦下移，跟x轴重合，即可保证F(a)=F(b)，且F(a)=F(b)=0)
(方法2：只需f(x)的左侧端点a点不动，右侧的端点下移到跟左侧端点a点相同高度即可保证F(a)=F(b),但是F(a)=F(b)
eq0)
(方法3：让左侧端点上升到跟右侧端点相同水平高度即可保证F(a)=F(b),但是F(a)=F(b)
eq0)
拉格朗日的做法，是方法1.
方法1
(让f(x)在[a,b]区间内的所有点下移，下移直线弦AB，并使之跟x轴重合，即F(a)=F(b)=0。\)
(这个下移的距离是一个跟x有关的函数，这个函数\)
(就是弦AB的直线段的函数：g(x)=kx+b\)
(由:f(a)=ka+b,f(b)=kb+b,\)
(解得，k=frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
(quadquad b=f(a)-frac{f(b)-f(a)}{b-a}a\)
(弦方程为：y=frac{f(b)-f(a)}{b-a}x+f(a)-frac{f(b)-f(a)}{b-a}a\)
(合并同类项：y=f(a)+frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\)
(让F(x)减去弦的高度，即上式的弦方程，即可做到f(x)曲线的右端点B，落在x轴上\)
(即：F(x)=f(x)-f(a)-frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a))
(上式与拉格朗日中值定理的辅助函数，完全一致\)
(\)
方法2
(右端点B下降的高度，相当于方法1的结果+a点高度f(a)即可\)
(即F(x)=f(x)-f(a)-frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a)\)
(即F(x)=f(x)-frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\)
(满足:F(a)=f(a),F(b)=f(a)\)
(即，满足:F(a)=F(b)\)
(\)
方法3
(方法3:如果是上移左端点A，只需方法1的结果+右端点高度f(b)即可\)
(即F(x)=f(x)-f(a)-frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(b)\)
(满足:F(a)=f(b),F(b)=f(b)\)
(即，满足:F(a)=F(b)=f(b)\)
其他方法
(用从原点O出发的，跟弦AB平行的直线，上移左端点或者下移右端点，方法类似上面\)
(得到F(x)=f(x)-frac{f(b)-f(a)}{b-a}x)
(\)
(\)
(【注意】有网友认为是曲线先下落，然后以(a,0)点为轴，旋转曲线右端点到x轴，这是错误的。\)
(因为旋转是弧形旋转，弦AB长度不变，实际是长度缩短了，因为是投影下来的，曲线两端点的距离不变)
待定系数法
(设F(x)=f(x)+lambda x\)
(则有F(a)=f(a)+lambda a=F(b)=f(b)+lambda b\)
(可得:lambda=-frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
(则quad F(x)=f(x)-frac{f(b)-f(a)}{b-a}x\)
(与前面的“其他方法”结果一致\)
闭区间套法
(\)
定积分法
(\)
不定积分法
(\\)
旋转坐标系法(如果旋转f(x)，类似)
(\\)
参考文献
广西柳州职业技术学院余惠霖的文章
https://wenku.baidu.com/view/403bd330ff00bed5b8f31d0f.html
天水师范学院常正军的毕业论文
https://www.docin.com/p-694641420.html