BZOJ 2440 莫比乌斯函数+容斥+二分

2440: [中山市选2011]完全平方数

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Description

小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是，他十分讨厌完全平方数。他觉得这些
数看起来很令人难受。由此，他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而
这丝毫不影响他对其他数的热爱。
这天是小X的生日，小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一
个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数，然后选取了第 K个数送给了
小X。小X很开心地收下了。
然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗？

Input

包含多组测试数据。文件第一行有一个整数 T，表示测试
数据的组数。
第2 至第T+1 行每行有一个整数Ki，描述一组数据，含义如题目中所描述。

Output

含T 行，分别对每组数据作出回答。第 i 行输出相应的
第Ki 个不是完全平方数的正整数倍的数。

Sample Input

4
1
13
100
1234567

Sample Output

1
19
163
2030745

HINT

对于 100%的数据有 1 ≤ Ki ≤ 10^9, T ≤ 50

莫比乌斯函数、反演

https://www.cnblogs.com/AOQNRMGYXLMV/p/4065628.html

题意输出第ki大的无平方因子数

解析无平方因子数可以线性筛，但是筛出来1e9个肯定超时。我们对答案进行二分mid，转化成求 1~mid 有多少个无平方因子数

根据容斥原理我们可以求出答案，减去(一个素数的平方的倍数）+ 加上（两个素数的乘积的平方的倍数）-....+...

比如说100以内首先删掉 2的平方(4)的倍数，3的平方(9)的倍数...... 会发现同时为4和9的倍数(e.g. 36 )被删了两遍所以再把2*3(6)的平方36的倍数加回来.

要是枚举组合情况太麻烦了我们发现一个数 a 的容斥系数就是u(a) (莫比乌斯函数) 所以答案就是

复杂度O(T*log(n)*sqrt(n))

AC代码

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 #define pb push_back
 3 #define mp make_pair
 4 #define fi first
 5 #define se second
 6 #define all(a) (a).begin(), (a).end()
 7 #define fillchar(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
 8 #define huan printf("
");
 9 #define debug(a,b) cout<<a<<" "<<b<<" ";
10 using namespace std;
11 const int maxn=1e5+100,inf=0x3f3f3f3f;
12 typedef long long ll;
13 typedef pair<int,int> pii;
14 int check[maxn],prime[maxn],mu[maxn];
15 void Mobius(int N)//莫比乌斯函数线性筛
16 {
17     int pos=0;mu[1]=1;
18     for (int i = 2 ; i <= N ; i++)
19     {
20         if (!check[i])
21             prime[pos++] = i,mu[i]=-1;
22         for (int j = 0 ; j < pos && i*prime[j] <= N ; j++)
23         {
24             check[i*prime[j]] = 1;
25             if (i % prime[j] == 0)
26             {
27                 mu[i*prime[j]]=0;
28                 break;
29             }
30             mu[i*prime[j]]=-mu[i];
31         }
32     }
33 }int solve(int n)
34 {
35     int temp=sqrt(n),ans=0;
36     for(int i=1;i<=temp;i++)
37         ans+=mu[i]*n/(i*i);
38     return ans;
39 }
40 int main()
41 {
42     int t,n;
43     Mobius(100000);
44     scanf("%d",&t);
45     while(t--)
46     {
47         scanf("%d",&n);
48         int l=1,r=2e9,ans;
49         while(l<=r)
50         {
51             int mid=l+(r-l)/2;
52             if(solve(mid)>=n) //不能直接等于n 二分的数不一定是无平方因子数
53                 r=mid-1;
54             else
55                 l=mid+1;
56         }
57         printf("%d
",r+1);
58     }
59 }