HDU2588 GCD 欧拉函数

GCD

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Problem Description

The greatest common divisor GCD(a,b) of two positive integers a and b,sometimes written (a,b),is the largest divisor common to a and b,For example,(1,2)=1,(12,18)=6.
(a,b) can be easily found by the Euclidean algorithm. Now Carp is considering a little more difficult problem:
Given integers N and M, how many integer X satisfies 1<=X<=N and (X,N)>=M.

Input

The first line of input is an integer T(T<=100) representing the number of test cases. The following T lines each contains two numbers N and M (2<=N<=1000000000, 1<=M<=N), representing a test case.

Output

For each test case,output the answer on a single line.

Sample Input

1 1

10 2

10000 72

Sample Output

260

题意：求gcd(i,n)>=m的个数( 1 <= i <= n )

题解：起初想的是 n%i==0 ans+=n/i 之类的但是会有很多重复的只会基本的容斥原理感觉太麻烦，也不会写。

　　　正解是若n%a==0 n=a*b 那么gcd(n,i)=a i=a*k k与b互质如果不互质的话gcd就不为a 所以ans+=euler(b) 然后折半枚举因为除一下会出来两个因数。

　　　那么为什么这么写就没有重复的难道没有这种情况吗 n=a*b ,i=a*c c属于与b互质的集合 n=c*b' , i=c*a a属于与b'互质的集合( a!=c) a*c就被算了两次吗？

　　　自己可以试着证明一下假设上述是成立的那么a与c都是n的因子 n可以写成 n=p1^2 * p2^2 * p3^1 与n/a互质的集合中有n的因子说明a占用了n至少一个素因子的全部次幂

　　　那么c只可能是被占用的那个素因子的次幂。比如n=2*2*3*3*5 a=2*2 与n/a互质的数中有n的因子(c)2 和 4。那么与n/c的数中不可能包含a。加设c=2 那么n/c=2*3*3*5 不存在

　　　假设c=4 与a相等是同一种情况。

　　　综上，没有重复的元素。

AC代码

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <iostream>
#include <sstream>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <queue>
#include <map>
#include <vector>
#include <set>
#include <utility>
#include <stack>
using namespace std;
const int maxn = 2e5+50,inf = 0x3f3f3f3f, mod = 998244353;
const double epx = 1e-6;
const double PI = acos(-1.0);
typedef long long ll;
ll euler(ll n)  //返回euler(n)
{
    ll res=n,a=n;
    for(ll i=2; i*i<=a; i++)
    {
        if(a%i==0)
        {
            res=res/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出 爆int
            while(a%i==0)
                a/=i;
        }
    }
    if(a>1)
        res=res/a*(a-1);
    return res;
}
int main()
{
    ll t,n,m;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>n>>m;
        ll ans=0;
        for(ll i=1;i*i<=n;i++)
        {
            if(n%i==0)
            {
                if(i>=m)
                    ans+=euler(n/i);
                if(n/i>=m&&i!=n/i)
                    ans+=euler(i);
            }
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
}

如有错误请大佬指正~.~