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二元运算(Binary operation)作用于两个对象的运算。如任意二数相加或相乘而得另一数；任意二集合相交或相并而得另一集合；任意一个多行矩阵与一个多列矩阵相乘而得另一矩阵；任意二函数合成而为另一函数，以上加、乘、交、并，积及合成均属二元运算。
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- 中文名：二元运算
- 外文名：binary operation; dyadic operation; binary composition
- 所属领域：数理科学
- 应用对象：数、集合、矩阵、函数等
- 特 征：作用于两个对象的运算
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常见二元运算
数的二元运算
a+b a加b
a-b a减b
a x b a与b相乘
ab a与b相乘
a/b a除以b
集合的二元运算
于n=2 来说，称
为二元运算。
定义2 设A为集合，如果f是A×A到A的代数运算，则称f是A上的一个二元运算，也称作集合A对于代数运算f来说是封闭的 [3] 。
矩阵的二元运算
矩阵代数，特别是矩阵的乘法规则，归功于著名的英国代数学家凯利。他创立了特殊型式的超复数。矩阵的乘法可推广到更高阶矩阵。但要注意，要使乘法能进行，第一个矩阵的列数应与第二个矩阵的行数相同。凯利的规则(通常称为行乘列法则)给出了mXn矩阵与nXk矩阵的乘积。
因为有些2×2矩阵或n×行矩阵没有逆阵，所以这种矩阵的有些集合关于乘法不是群。还有，虽然矩阵乘法总满足结合律，但在矩阵集上并不一定满足交换律。这就使得矩阵的乘法系统可以作为乘法不满足交换律的一些现代抽象代数结构的模型。由于方阵并非都是可逆的，故在矩阵的乘法系统中，不能将除法作为二元运算来看待。 凯利的矩阵代数还包括对“数乘"和加法的定义。数乘是一个一元运算，加法是矩阵的二元运算。数与矩阵相乘，就是将矩阵的每个元素都乘上该数。行数和列数分别相同的两个矩阵可以相加，只要把相应元素相加，其和是有同样的行数和列数的矩阵。
二元运算的性质
定义1 设“⊙”是非空集合A上的二元运算，如果对任意的a、b、c∈A，有(a⊙b)⊙c=a⊙(b⊙c)，则称运算“⊙”满足结合律。
定义2 设“⊙”是非空集合A上的二元运算，如果对任意的a,b∈A，有a⊙b=b⊙a，则称运算“⊙”满足交换律。
定义3 设(A；*，⊙)是一代数系统，如果对任意的a、b、c∈A，有
(1)a*(b⊙c)=(a*b)⊙(a*c)，则称“*”对“⊙”有左分配律；
(2)(b⊙c)*a=(b*a)⊙(c*a)，则称“*”对“⊙”有右分配律。
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作者：ylbtech 出处：http://ylbtech.cnblogs.com/ 本文版权归作者和博客园共有，欢迎转载，但未经作者同意必须保留此段声明，且在文章页面明显位置给出原文连接，否则保留追究法律责任的权利。 |