【洛谷P4296】密码箱

题目

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P4296
在一次偶然的情况下，小可可得到了一个密码箱，听说里面藏着一份古代流传下来的藏宝图，只要能破解密码就能打开箱子，而箱子背面刻着的古代图标，就是对密码的提示。

经过艰苦的破译，小可可发现，这些图标表示一个数以及这个数与密码的关系。假设这个数是 \(n\)，密码为 \(x\)，那么可以得到如下表述： 密码 \(x\) 大于等于 \(0\)，且小于 \(n\)，而 \(x\) 的平方除以 \(n\)，得到的余数为 \(1\)。 小可可知道满足上述条件的 \(x\) 可能不止一个，所以一定要把所有满足条件的 \(x\) 计算出来，密码肯定就在其中。计算的过程是很艰苦的，你能否编写一个程序来帮助小可可呢？

思路

\(x^2\equiv 1\pmod n\) 等价于 \((x-1)(x+1)\bmod n=0\)。
设 \(n=ab\)，\(x\) 是解当且仅当存在 \(a,b\) 满足 \(a|(x-1)\) 且 \(b|(x+1)\)。
设 \(a\leq b\)，枚举 \(a\)，可以计算出 \(b\)，对于每一个 \(b\) 的倍数我们都令他为 \(x+1\)，那么我们继续枚举 \(b\) 的倍数，只需要判断 \(x-1\) 是不是 \(a\) 的倍数即可。
时间复杂度 \(O(n)\)，当然这是十分轻松的上界。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

int n;
set<int> s;

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	if (n==1) return printf("None"),0;
	for (int i=1;i*i<=n;i++)
		if (n%i==0)
		{
			int k=n/i;
			for (ll j=k;j-1<=n;j+=k)
				if ((j-2)%i==0) s.insert(j-1);
			for (ll j=k;j+1<=n;j+=k)
				if ((j+2)%i==0) s.insert(j+1);
		}
	s.insert(1);
	for (set<int>::iterator it=s.begin();it!=s.end();it++)
		printf("%d\n",*it);
	return 0;
}