在学习完 Andrew Ng 教授的机器学习课程，这里将线性回归和逻辑回归细节之处梳理一下。
1、 为什么是逻辑回归？
都说线性回归用来做回归预测，逻辑回归用于做二分类，一个是解决回归问题，一个用于解决分类问题。但很多人问起逻辑回归和线性回归的区别，很多人会大喊一声（也可能是三声）：逻辑回归就是对线性回归做了一个压缩，将y 的阈值从(yin(+infty,-infty))压缩到((0,1))。那么问题来了，问什么仅仅做一个简单的压缩，就将回归问题变成了分类问题？里面蕴含着本质？
首先要从数据说起，线性回归的样本的输出，都是连续值，(yin(+infty,-infty))而，逻辑回归中(yin{0,1})，只能取0和1。对于拟合函数也有本质上的差别：
线性回归：(f(x)= heta^TX= heta_1x_1+ heta_2x_2+dotsb+ heta_nx_n)
逻辑回归：(f(x)=p(y=1mid x ; heta)=g( heta^TX))，其中，(g(z)=dfrac{1}{1+e^{-z}})
可以看出，线性回归的拟合函数，的确是对f(x)的输出变量y的拟合，而逻辑回归的拟合函数是对为1类的样本的概率的拟合。
2、那么，为什么要以1类样本的概率进行拟合呢，为什么可以这样拟合呢？
首先，logstic 函数的本质说起。若要直接通过回归的方法去预测二分类问题， y 到底是0类还是1类，最好的函数是单位阶跃函数。然而单位阶跃函数不连续（GLM 的必要条件），而 logsitic 函数恰好接近于单位阶跃函数，且单调可微。于是希望通过该复合函数去拟合分类问题：
$$y=frac{1}{1+e{- hetaTX}}$$
于是有：
$$lnfrac{y}{1-y}= heta^TX$$
发现如果我们假设 (y=p(y为1类mid x ; heta)) 作为我们的拟合函数，等号左边的表达式的数学意义就是1类和0类的对数几率（log odds）。
这个表达式的意思就是：用线性模型的预测结果去逼近1类和0类的几率比。于是，$ heta^TX=0 $就相当于是1类和0类的决策边界：
当( heta^TXgt0)，则有(ygt0.5)；若( heta^TX o+infty) ,则(y o1) ，即y 为1类;
当( heta^TXlt0)，则有(ylt0.5) ; 若( heta^TX o-infty)，则(y o0)，即 y 为0类。
这个时候就能看出区别来了，在线性回归中( heta^TX)为预测值的拟合函数；而在逻辑回归中( heta^TX=0)为决策边界。