【NOIp2019模拟】T3—简单题（斯特林反演+整数拆分）

传送门

好像是雅礼集训的原题

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考虑说如果看成$k$个点
如果相同的连边，就是问图不连通的方案

考虑容斥强制连边
实际上最后就是有一堆连通块
考虑我们要求的是每个连通块大小都为1的方案数

可以利用斯特林反演，一个大小为$x$的联通块的容斥系数就是$(x-1)!(-1)^{x-1}$
由于只关心每个大小的连通块有几个，可以直接对$k$整数划分
如果大小为$i$的块有$a_i$个

那么就有$frac{k!}{prod_i(i!)^{a_i}a_i!}$
种情况

然后就是把$n!$所有质因子分配给这些连通块
对于每个质因子，每个连通块内必须选相同的个数

做一个完全背包计算方案数就完了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int RLEN=1<<20|1;
inline char gc(){
    static char ibuf[RLEN],*ib,*ob;
    (ob==ib)&&(ob=(ib=ibuf)+fread(ibuf,1,RLEN,stdin));
    return (ob==ib)?EOF:*ib++;
}
#define gc getchar
inline int read(){
    char ch=gc();
    int res=0,f=1;
    while(!isdigit(ch))f^=ch=='-',ch=gc();
    while(isdigit(ch))res=(res+(res<<2)<<1)+(ch^48),ch=gc();
    return f?res:-res;
}
#define ll long long
#define re register
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define cs const
#define bg begin
const int mod=1e9+7;
inline int add(int a,int b){return a+b>=mod?a+b-mod:a+b;}
inline void Add(int &a,int b){a=add(a,b);}
inline int dec(int a,int b){return a>=b?a-b:a-b+mod;}
inline void Dec(int &a,int b){a=dec(a,b);}
inline int mul(int a,int b){return 1ll*a*b>=mod?1ll*a*b%mod:a*b;}
inline void Mul(int &a,int b){a=mul(a,b);}
inline int ksm(int a,int b,int res=1){for(;b;b>>=1,a=mul(a,a))(b&1)?(res=mul(res,a)):0;return res;}
inline int Inv(int x){return ksm(x,mod-2);}
inline void chemx(int &a,int b){a<b?a=b:0;}
inline void chemn(int &a,int b){a>b?a=b:0;}
cs int N=10005,C=32;
int fac[C],ifac[C];
inline void init(){
	fac[0]=ifac[0]=1;
	for(int i=1;i<C;i++)fac[i]=mul(fac[i-1],i);
	ifac[C-1]=ksm(fac[C-1],mod-2);
	for(int i=C-2;i;i--)ifac[i]=mul(ifac[i+1],i+1);
}
vector<int> divi;
int cnt[N],num[N],pr[N],n,k,tot,ans,mx;
void sieve(int x){
	for(int i=2;i*i<=x;i++){
		if(x%i==0){
			while(x%i==0)cnt[i]++,x/=i;
		}
	}
	if(x>1)cnt[x]++;
}
int f[N];
inline void calc(){
	int val=1,coef=fac[k];
	for(int i=1;i<=k;i++){
		Mul(coef,mul(ksm(ifac[i],num[i]),ifac[num[i]]));
	}
	for(int &x:divi)Mul(coef,mul(fac[x-1],(x&1)?1:mod-1));
	f[0]=1;
	for(int i=1;i<=divi.size();i++){
		int v=divi[i-1];
		for(int j=0;j+v<=mx;j++)Add(f[j+v],f[j]);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)Mul(val,f[cnt[i]]);
	memset(f,0,sizeof(f));
	Add(ans,mul(val,coef));
}
void dfs(int res,int mx){
	if(!res)return calc();
	if(res<mx)return;
	for(int i=mx;i<=res;i++)
	num[i]++,divi.pb(i),dfs(res-i,i),divi.pop_back(),num[i]--;
}
int main(){
	init();
	n=read(),k=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)sieve(i);
	for(int i=1;i<=n;i++)chemx(mx,cnt[i]);
	dfs(k,1);
	cout<<mul(ans,ifac[k]);
}