辗转相除法

辗转相除法：

当a % b=0 时gcd(a,b)=b,否则

gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

原理：（来源于百度）

设两数为a、b(b<a)，用gcd(a,b)表示a，b的最大公约数，r=a (mod b) 为a除以b以后的余数，k为a除以b的商，即a÷b=k^.......r。辗转相除法即是要证明gcd(a,b)=gcd(b,r）。

第一步：令c=gcd(a,b），则设a=mc，b=nc

第二步：根据前提可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c

第三步：根据第二步结果可知c也是r的因数

第四步：可以断定m-kn与n互质【否则，可设m-kn=xd，n=yd (d>1)，则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a与b最大公约数成为cd，而非c，与前面结论矛盾】

从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r)。

证毕。

源代码：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 using namespace std;
 4 int gcd(int a,int b){
 5     if (b==0) return a;
 6     else return gcd(b,a%b);
 7 }
 8 int main(){
 9     int a,b;
10     cin>>a>>b;
11     cout<<gcd(a,b);
12     return 0;
13 }

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思考下面代码的输出结果

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 using namespace std;
 4 int gcd(int a,int b){
 5     if (b==0) return a;
 6     else return gcd(b,a%b);
 7                    cout<<a<<" "<< b<<endl;
 8 }
 9 int main(){
10     int a,b;
11     cin>>a>>b;
12     cout<<gcd(a,b);
13     return 0;
14 }

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这样呢

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 using namespace std;
 4 int gcd(int a,int b){
 5     if (b==0) return a;
 6     else {
 7     cout<<a<<" "<<b<<endl;
 8     return gcd(b,a%b);}
 9 }
10 int main(){
11     int a,b;
12     cin>>a>>b;
13     cout<<gcd(a,b);
14     return 0;
15 }

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