24.用牛顿迭代法求平方根

假设a。欲求a的平方根，首先猜测一个值X1=a/2，然后根据迭代公式X（n+1）=（Xn+a/Xn）/2，算出X2，再将X2代公式的右边算出X3等等，直到连续两次算出的Xn和X（n+1）的差的绝对值小于某个值，即认为找到了精确的平方根。例算步骤如下。

1.假设求6的平方根，当Xn和X（n+1）的差值小于0.001时，可以认为已经找到了精确值。

2.根据牛顿迭代法的步骤，首先猜测一个值X1，猜测X1=6/2=3。

求6的平方根：6/2=3

3.将X1=3代入公式X（n+1）=（Xn+a/Xn）/2，则X2=（X1+6/X1）/2=（3+6/3）/2=2.5,由于3和2.5的差大于0.001，需要继续计算。

X2=(X1+6/X2)/2=(3+6/3)/2=2.5

3-2.5>0.001

4.将X2=2.5代入公式X（n+1）=（Xn+a/Xn）/2，则X3=（X2+6/X2）/2=（2.5+6/2.5）/2=2.45，由于2.5-2.45=0.5>0.001，故需要继续计算。

X3=(X2+6/X2)/2=(2.5+6/2.5)/2=2.45

2.5-2.45=0.5>0.001

5.将X3=2.45代入公式X（n+1）=（Xn+a/Xn）/2，则X4=（X3+6/X3）/2=（2.45+6/2.45）/2=2.4495，由于2.5-2.4495=0.0005<0.001，故不需要继续计算。

X4=(X3+6/X3)/2=(2.45+6/2.45)/2=2.4495

2.45-2.4495=0.0005<0.001

6.则可以确定6的平方根，在自己认为的精确的范围内，即误差小于0.001的范围内，值为2.4495，即 √（6）=2.4495。

用迭代法求x=根号a。求平方根的迭代公式为：X（n+1）=（Xn+a/Xn）/2要求前后两次求出的x的差的绝对值小于10^-5

解：用迭代法求平方根的算法如下：

（1）设定一个x的初值X₁

（2）用以上公式求出X的一个值X₂

（3）再将X₂代入以上公式的右侧的Xn，求出X的下一个值X₃；

（4）如此继续下去，直到前后两次求出的X值（Xn和X_n+1）满足一下关系：

　　　　|X_n+1—X_n|<10^-5

为了便于程序处理，今只用X1和X2，先令X的初值为X1=a/2（也可以是另外的值），求出X1：如果此时　|X_n+1—X_n|>=10^{-5,就使X1 => X2,然后用这个新的X1求出下一个X2；如此反复，直到　|X_n+1—X_n|<10^-5为止}

 1 #include <stdio.h>
 2 #include <stdlib.h>
 3 
 4 int main()
 5 {
 6     float a,x1,x2;
 7     scanf("%f",&a);
 8     x1 = a/2;
 9     x2 = (x1+a/x1)/2;
10    do
11     {
12        x1 = x2;
13        x2 = (x1+a/x1)/2;
14     }while(fabs(x1-x2)>=1e-5);//|Xn+1—Xn|>=10-5时执行循环当|Xn+1—Xn|<10-5时循环结束
15      /*while(fabs(x2-x1)>=1e-5)//不能用whil循环，因为当满足 |Xn+1—Xn|<10-5时跳出循环，并没有执行循环体。
16     {
17         x1 = x2;               //do。。while循环则是执行过循环体后判断不满足|Xn+1—Xn|》=10-5
18         x2 = (x1+a/x1)/2;
19     }*/
20     printf("a = %5.2f的平方根为：%8.5f
",a,x2);
21     return 0;
22 }