背包DP：金明的预算方案

金明的预算方案 2006年NOIP全国联赛提高组

题目描述 Description

金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间金明自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过N元钱就行”。今天一早，金明就开始做预算了，他把想买的物品分为两类：主件与附件，附件是从属于某个主件的，下表就是一些主件与附件的例子：

如果要买归类为附件的物品，必须先买该附件所属的主件。每个主件可以有0个、1个或2个附件。附件不再有从属于自己的附件。金明想买的东西很多，肯定会超过妈妈限定的N元。于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为5等：用整数1~5表示，第5等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是10元的整数倍）。他希望在不超过N元（可以等于N元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。

设第j件物品的价格为v[j]，重要度为w[j]，共选中了k件物品，编号依次为j₁，j₂，……，j_k，则所求的总和为：

v[j₁]*w[j₁]+v[j₂]*w[j₂]+ …+v[j_k]*w[j_k]。（其中*为乘号）

请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。

输入描述 Input Description

第1行，为两个正整数，用一个空格隔开：

N m

（其中N（<32000）表示总钱数，m（<60）为希望购买物品的个数。）

从第2行到第m+1行，第j行给出了编号为j-1的物品的基本数据，每行有3个非负整数

v p q

（其中v表示该物品的价格（v<10000），p表示该物品的重要度（1~5），q表示该物品是主件还是附件。如果q=0，表示该物品为主件，如果q>0，表示该物品为附件，q是所属主件的编号）

输出描述 Output Description

只有一个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值（<200000）

样例输入 Sample Input

1000 5

800 2 0

400 5 1

300 5 1

400 3 0

500 2 0

样例输出 Sample Output

刚看完背包九讲，找了一道题练一练

这道题属于有依赖的背包

共m个物品，可看为共有k个集合{由主件和附件的选择决策组成}

如果一个主件有1个附件，则有2种决策方案{只选主件，主件和附件}

如果--------- 2个附件，则有4种决策方案{主件，主件和附件1，主件和附件2，主件和附件1和附件2}

f[i,j]表示前i个集合，代价为j 所获得的最大利益

转移方程：f[i,j]=max{f[i-1,j], f[i-1,j-w[i][k]]+v[i][k] | 0<=k<=第i个集合的决策数 }

核心代码：

for i:=1 to 集合数 do

for j:=v downto 0 do

begin f[i,j]:=f[i-1,j];{如果不选这个集合}

for k:=1 to 这个集合的决策数 do

f[i,j]:=max（f[i,j], f[i-1,j-w[i][k]{该决策的代价}+v[i][k]{该决策的利益}）

end;

var n,m:longint;  jhn:longint;

    jh:array[0..60]of record

                      v,w:array[1..60]of longint;

                      end;

    jk:array[0..60]of longint;

    p,t,w,w1,v,v1:array[1..60]of longint;

    f:array[0..60,0..32000]of longint;

    son:array[0..60,0..60]of longint;

    findmax:longint;

    i,j,k:longint;procedure choose(x:longint);

          var i,j:longint;

          begin if son[x,0]=1

                   then begin inc(jk[ jhn ]);

                              jh[ jhn ].v[jk[ jhn ]]:=v1[x]+v1[ son[x,1] ];

                              jh[ jhn ].w[jk[ jhn ]]:=w1[x]+w1[ son[x,1] ];

                        end;

                if son[x,0]=2

                   then begin inc(jk[ jhn ]);

                              jh[ jhn ].v[jk[ jhn ]]:=v1[x]+v1[ son[x,1] ];

                              jh[ jhn ].w[jk[ jhn ]]:=w1[x]+w1[ son[x,1] ];

                              inc(jk[ jhn ]);

                              jh[ jhn ].v[jk[ jhn ]]:=v1[x]+v1[ son[x,2] ];

                              jh[ jhn ].w[jk[ jhn ]]:=w1[x]+w1[ son[x,2] ];

                              inc(jk[ jhn ]);

                              jh[ jhn ].v[jk[ jhn ]]:=v1[x]+v1[ son[x,1] ]+v1[ son[x,2] ];

                              jh[ jhn ].w[jk[ jhn ]]:=w1[x]+w1[ son[x,1] ]+w1[ son[x,2] ];

                        end;

          end;function max(x,y:longint):Longint;

         begin if x>y

                  then exit(x)

                  else exit(y);

         end;begin fillchar(son,sizeof(son),0);

      fillchar(jk,sizeof(jk),0);

      readln(n,m);

      for i:=1 to m do

          begin readln(w1[i],t[i],p[i]);

                v1[i]:=w1[i]*t[i];

                if p[i]<>0

                   then begin inc(son[p[i],0]);

                              son[ p[i] , son[p[i],0] ]:=i;

                        end;

          end;

      for i:=1 to m do

          if p[i]=0

             then begin inc(jhn); jk[ jhn ]:=1;

                        jh[ jhn ].v[1] :=v1[i];

                        jh[ jhn ].w[1] :=w1[i];

                        if son[i,0]<>0

                           then choose(i);

                  end;

      for i:=1 to jhn do

          for j:=n downto 0 do

              begin f[i,j]:=f[i-1,j];

                    for k:=1 to jk[i] do

                        if jh[i].w[k]<=j

                           then f[i,j]:=max(f[i,j],f[i-1,j-jh[i].w[k] ]+jh[i].v[k]);

              end;

      writeln(f[jhn,n]);

end.