P1063 能量项链
题目描述
在MarsMars星球上,每个MarsMars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有NN颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子,这些标记对应着某个正整数。并且,对于相邻的两颗珠子,前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样,通过吸盘(吸盘是MarsMars人吸收能量的一种器官)的作用,这两颗珠子才能聚合成一颗珠子,同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为mm,尾标记为rr,后一颗能量珠的头标记为r,尾标记为nn,则聚合后释放的能量为m imes r imes nm×r×n(MarsMars单位),新产生的珠子的头标记为mm,尾标记为nn。
需要时,MarsMars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子,通过聚合得到能量,直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然,不同的聚合顺序得到的总能量是不同的,请你设计一个聚合顺序,使一串项链释放出的总能量最大。
例如:设N=4N=4,44颗珠子的头标记与尾标记依次为(2,3) (3,5) (5,10) (10,2)(2,3)(3,5)(5,10)(10,2)。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作,(jj⊕kk)表示第j,kj,k两颗珠子聚合后所释放的能量。则第44、11两颗珠子聚合后释放的能量为:
(44⊕11)=10 imes 2 imes 3=60=10×2×3=60。
这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为:
((44⊕11)⊕22)⊕33)=10 imes 2 imes 3+10 imes 3 imes 5+10 imes 5 imes 10=71010×2×3+10×3×5+10×5×10=710。
输入输出格式
输入格式:第一行是一个正整数N(4≤N≤100)N(4≤N≤100),表示项链上珠子的个数。第二行是NN个用空格隔开的正整数,所有的数均不超过10001000。第ii个数为第ii颗珠子的头标记(1≤i≤N)(1≤i≤N),当i<N< span>i<N<span>时,第ii颗珠子的尾标记应该等于第i+1i+1颗珠子的头标记。第NN颗珠子的尾标记应该等于第11颗珠子的头标记。
至于珠子的顺序,你可以这样确定:将项链放到桌面上,不要出现交叉,随意指定第一颗珠子,然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。
输出格式:一个正整数E(E≤2.1 imes (10)^9)E(E≤2.1×(10)9),为一个最优聚合顺序所释放的总能量。
输入输出样例
说明
NOIP 2006 提高组 第一题
经典的区间DP,$dp[l][r]$表示在$[l,r]$区间内所能取得的最大值
状态转移方程:
$dp[l][r]=max(dp[l][r],dp[l][k]+dp[k][r]+a[l]*a[k]*a[r])$
一般的套路就是先枚举区间长度,在枚举区间左短点,再枚举中间节点。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int a[500],dp[500][500],n,ans; int main() { cin>>n; for(int i=1;i<=n;i++){ cin>>a[i];a[n+i]=a[i]; }for(int i=2;i<=n+1;i++){//枚举区间长度 for(int l=1;l+i-1<=2*n;l++){//枚举左端点 int r=l+i-1; for(int k=l+1;k<r;k++){//枚举中间节点 dp[l][r]=max(dp[l][r],dp[l][k]+dp[k][r]+a[l]*a[k]*a[r]); } } }for(int i=1;i<=n;i++) ans=max(ans,dp[i][i+n]); cout<<ans; return 0; }