学习内容概览：
- 3D transformations
- Viewing（观测）转换
- View/Camera transformation
- Projection（投影） transformation
- Orthographic(正交) projection
- Perspective(透视) projection
上节内容补充：
旋转 ( heta) 角是旋转 (- heta) 角的矩阵转置，如果旋转 (R_{ heta}^T = R_{ heta}^{-1}),则该矩阵为正交矩阵。
一、3D transformations
类似2D使用齐次坐标表示(点用1，向量用0)：
- 3D point = (left(x,y,z,1 ight)^T)
- 3D vector = (left(x,y,z,0
ight)^T)
通常，((x,y,z,w)(w!=0))是3D的点：
( 一 )齐次坐标表示3D 变换
顺序：先线性变换再平移。
1. 3D 变换
-
缩放和平移：
-
绕着x、y、z轴旋转：
固定旋转轴，分别绕着另外两个轴旋转。
问题：为何绕 Y 轴旋转的旋转矩阵中 (-sin alpha) 与 (sin alpha) 的位置不同?
Ans：因为 (X imes Y)得到 (Z) 轴， (Y imes Z)得到 (X) 轴，连续书写字母顺序是：XYZXYZ...但是(Z imes X)得到 (Y) 轴，所以 (Y) 因此是反的。
2. 3D 旋转
对于任意一个旋转 (R_{xyz} left(alpha,eta,gamma
ight)),可以由 (R_xleft(alpha
ight)) 、(R_yleft(eta
ight)) 和 (R_zleft(gamma
ight)) 组成。其中，(alpha) 、(eta) 和 (gamma) 称为欧拉角（Euler Angles）。通过下图中的操作，可将飞机的头朝向任意方向。
3. 罗德里格斯公式（Rodrigues’ Rotation Formula）
在三维旋转理论中，对于给定旋转轴和旋转角度，以Olinde Rodrigues命名的罗德里格斯公式是用于在空间旋转向量的高效算法。
旋转轴为 n 轴，旋转角为 (alpha) .默认旋转轴过原点(若不过原点，可想将其移至原点，然后做线性变换后，在将其平移至原位置）。其中，罗德里格斯公式如下：
另外提到一个概念：
四元数：便于计算旋转与旋转之间的差值。
二、观测变换（View/Camera Transformation）
（ 一 ）What is view transformation?
以上三步简称"MVP"变换。
（ 二 ）How to perform view transformation?
1. 主要定义三个要素：
- 位置
- 观测方向
- 向上的方向（类似地图上的向北指向，以便确定整个观测的位置。）
2. 进行视图变换
约定：相机在原点，向上指向 Y，看向 Z 方向。
3. 相机转换步骤
4. 写成转换矩阵
总结
三、投影变换
（ 一 ）投影变换的分类
其中，人眼成像类似于透视投影（右图）；正交投影（左图）常用于工程制图。
（ 二 ）透视投影 VS 正交投影
透视投影是在一个点投射成四棱锥形成；正交显示若将相机放于无限远，远、近平面将无限接近。
下面，将对透视投影和正交投影分别进行阐述。
四、正交投影
（ 一 ）3D化2D方法：
主要将平移和缩放放在(left[-1,1
ight]^2)中。
（ 二 ）3D 常用方法
定义一个空间中的立方体，将其映射成标准立方体(left[-1,1 ight]^3)中。“先平移再缩放”。
注意：此时的([f,n])中，远平面 f < 近平面 n,因为是沿着 (-Z) 方向查看。但是在OpenGL中，由于是左手坐标系，因此f>n,是 (left[n,f ight]) 。
变换步骤：先平移再缩放。
（ 三 ）变换矩阵
先将中心移至原点，再将其边长缩放为2。（在坐标轴[-1,1]范围内。）
坐标系选择不同，会导致结果不同。
五、透视投影
透视投影是目前最广泛的投影，近大远小，效果：放远处平行线不再平行，例如这个平行的铁轨。
其中关于那个矛盾，是因为欧式几何是在同一个平面内，而这个铁轨照片里面包含了许多个平面，是在不同平面、不同角度，因此会感觉有些矛盾。
（ 一 ）回顾：齐次坐标性质
其中，这里面这个结论很重要，在后面进行透视投影中会用到。
（ 二 ）怎样进行透视投影？（难点）
简单说，就是把这个Frustum的远平面f挤成同近平面n一样大的平面，然后进行正交投影。
约定：
- 近平面不变
- 远平面f的中心点不变
- Z值仍为f
关于远平面挤压后坐标的变化,（通过相似三角形算出）等值关系：
在齐次坐标中，利用乘以一个数，仍为原点，先乘以 (frac{n}{z})。
透视投影到正交投影：
求第三行四个问号的值：
1. 观察特殊性——远、近平面的点特殊性：
2. 利用近平面的点不变性，计算出第三行的前两个问号，得出一个等式(An + B = n^2)：
3. 利用远平面的点，Z坐标值不变性，得出(Af + B = f^2)：
4.将第2、3步的等式联立，得出A、B的值。
Question：对于中间任意一点（x,y,z），在经过挤压后（将其变为立方体后），变换后的Z值会靠近远平面还是靠近近平面？
Ans：会更大一些，因为是双曲线上的一段。