威尔逊定理 当且仅当 (p) 为质数时，((p-1)! equiv -1(mod p)) 。即: (p) 为质数 (Leftrightarrow (p-1)! equiv -1(mod p)) 。
威尔逊定理的证明
必要性
易得：((p-1)!equiv -1(mod p)Leftrightarrow p|(p-1)!+1) 。
假设 (p) 不是质数，(a) 是 (p) 的质因子。我们有：(a | (p-1)!) ，(a ot| (p-1)!+1) 。而由上式我们可知：(p|(p-1)!+1 Rightarrow a|(p-1)!+1) 。
前后矛盾，故 (p) 一定为质数。
充分性