一道算法题-从1到n整数中1出现的次数

1. 题目描述

输入一个整数n，求从1到n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。例如输入12，从1到12这些整数中包含1的数字有1，10，11和12，1一共出现了5次。

2. 题目来源

第一次看到是在《剑指Offer》第2版上，面试题32。leetcode和牛客网上都有这道题。

3. 本文的目的

看了《剑指Offer》上的解法，我觉得不能算好：

这段解释描述有些不清晰，而且没有图，难以理解。
从书中给出的实现上来看，显得有些凌乱。

在这篇博客里，会给出一个我对这道题的解法，包括完整的解题思路，完整代码，时间复杂度分析。

4. 解题思路

考虑将n的十进制的每一位单独拿出讨论，每一位的值记为weight。

1）个位

从1到n，每增加1，weight就会加1，当weight加到9时，再加1又会回到0重新开始。那么weight从0-9的这种周期会出现多少次呢？这取决于n的高位是多少，看图：

以534为例，在从1增长到n的过程中，534的个位从0-9变化了53次，记为round。每一轮变化中，1在个位出现一次，所以一共出现了53次。
再来看weight的值。weight为4，大于0，说明第54轮变化是从0-4，1又出现了1次。我们记1出现的次数为count，所以：

count = round+1 = 53 + 1 = 54

如果此时weight为0（n=530），说明第54轮到0就停止了，那么：

count = round = 53

2) 十位

对于10位来说，其0-9周期的出现次数与个位的统计方式是相同的，见图：

不同点在于：从1到n，每增加10，十位的weight才会增加1，所以，一轮0-9周期内，1会出现10次。即rount*10。
再来看weight的值。当此时weight为3，大于1，说明第6轮出现了10次1，则：

count = round*10+10 = 5*10+10 = 60

如果此时weight的值等于0（n=504），说明第6轮到0就停止了，所以：

count = round*10+10 = 5*10 = 50

如果此时weight的值等于1（n=514），那么第6轮中1出现了多少次呢？很明显，这与个位数的值有关，个位数为k，第6轮中1就出现了k+1次(0-k)。我们记个位数为former，则：

count = round*10+former +1= 5*10+4 = 55

3) 更高位

更高位的计算方式其实与十位是一致的，不再阐述。

4) 总结

将n的各个位分为两类：个位与其它位。
对个位来说：

若个位大于0，1出现的次数为round*1+1
若个位等于0，1出现的次数为round*1

对其它位来说，记每一位的权值为base，位值为weight，该位之前的数是former，举例如图：

则：

若weight为0，则1出现次数为round*base
若weight为1，则1出现次数为round*base+former+1
若weight大于1，则1出现次数为rount*base+base

比如：

534 = （个位1出现次数）+（十位1出现次数）+（百位1出现次数）=（53*1+1）+（5*10+10）+（0*100+100）= 214
530 = （53*1）+（5*10+10）+（0*100+100） = 213
504 = （50*1+1）+（5*10）+（0*100+100） = 201
514 = （51*1+1）+（5*10+4+1）+（0*100+100） = 207
10 = (1*1)+(0*10+0+1) = 2

5. 完整代码

 1 int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n)
 2     {
 3         if(n<1)
 4             return 0;
 5         int count = 0;
 6         int base = 1;
 7         int round = n;
 8         while(round>0)
 9         {
10             int weight = round%10;
11             round/=10;
12             count += round*base;
13             if(weight==1)
14                     count+=(n%base)+1;
15             else if(weight>1)
16                 count+=base;
17             base*=10;
18         }
19     return count;
20     }

6. 时间复杂度分析

由分析思路或者代码都可以看出，while循环的次数就是n的位数,logn（以10为底），而循环体内执行的操作都是有限次的，所以时间复杂度为O(logn)。

参考文献：http://blog.csdn.net/yi_afly/article/details/52012593