如何快速设计一个FIR滤波器（一）真是通俗易懂，膜拜

在工作中，我们最佩服的一群人就是那种只用“纸和笔”就能把问题说清楚甚至解决的人，这需要超强的理论基础以及模型抽象能力——一言不合就上公式，简单、粗暴、有效。

今天，我们也来装一装X，看看如何通过简单“写写画画”来设计一个FIR滤波器。

滤波器的概念相比大家都很熟悉了，一般按照频率特性可以分为低通、高通、带通及带阻滤波器，这是从输出特性来说的。

设计常规滤波器的时候，我们一般采用另外一种分类，FIR（Finite Impulse Response）和IIR（Infinite Impulse Response）filter，即有限脉冲响应滤波器和无限脉冲响应滤波器。前面的文章中，我们已经介绍了，理想脉冲信号，其傅里叶变换恒为1，也就时包含了所有频率分量，是一个理想的测试信号，能够激发出所有单位频率分量的响应，因此理想脉冲信号的响应，就代表了系统的特性。

滤波器也可以看成一个系统，如果用一个理想脉冲信号激励，就会有输出，我们把输出个数有限的称为有限脉冲响应滤波器（FIR）；输出无限多的称为无限脉冲响应滤波器（IIR）。今天先说一下FIR。

一、Z传递函数的零点和极点代表什么

我们知道 $s$ 域的零极点表征了系统的响应特性：极点代表了系统的模态，零点代表了系统能屏蔽的模态，具体参看文章

J Pan：如何入门自动控制理论zhuanlan.zhihu.com

在“如何理解离散傅里叶变换及z变换”一文中，

J Pan：如何理解离散傅里叶变换及Z变换zhuanlan.zhihu.com

我们介绍了 $z$ 域和 $s$ 域的关系： $z=e^{sT}$ ， $s=sigma+jomega$ ，所以

当 $sigma=0$ 时， $s=jomega$ ，对应的是 $s$ 域的虚轴，而此时 $z=e^{jomega T}$ 对应的是单位圆，也就是说 $z$ 变换将 $s$ 域的虚轴映射成 $z$ 域的单位圆。

当 $sigma>0$ 时， $s=sigma +jomega$ ，对应的是 $s$ 域的正半轴，而此时 $z=e^{sigma}e^{jomega T}$ ，由于 $e^{sigma}>1$ ，也就是说此时 $z$ 变换将 $s$ 域正半轴映射到了 $z$ 域的单位圆外部。

当 $sigma<0$ 时， $s=sigma +jomega$ ，对应的是 $s$ 域的负半轴，而此时 $z=e^{sigma}e^{jomega T}$ ，由于 $e^{sigma}<1$ ，也就是说此时 $z$ 变换将 $s$ 域负半轴映射到了 $z$ 域的单位圆内部。

继续扩展， $z=e^{sT}=e^{jomega/f_s}=e^{j2pi f/f_s }$ ,很显然：

当 $f=0$ 时 $z=1$ ;
当 $f=frac{1}{4}f_s$ 时 $z=e^{jpi/2}=j$ ;
当 $f=frac{1}{2}f_s$ 时 $z=e^{jpi}=-1$ ;
当 $f=-frac{1}{4}f_s$ 时 $z=e^{-jpi/2}=-j$ ;

我们知道在 $s$ 域上，虚轴上不同的点对应不同的频率，而 $z$ 域上单位圆与 $s$ 域虚轴对应，可见， $z$ 域单位圆上不同的点，代表了不同的频率。

很容易得到，对于 $z$ 域的传递函数的零极点，也有和 $s$ 域零极点类似的结论：

规律1：如果在单位圆上有零点，则在零点所对应的频率上幅值响应为零；
规律2：对于不在单位圆上的零点，在单位圆上离零点最近的点对应的频率上幅值响应最小。
规律3：对于在单位圆内部的极点，在单位圆上离极点最近的点对应的频率上幅值响应最大。
规律4：如果极点和零点重合，对系统的频率响应没有影响。

在“如何理解离散傅里叶变换及z变换”一文中，我们还介绍了如果一个信号的频谱如下：

频谱中最大的频率为 $f_{max}$ ，用一个周期为 $f_s$ 狄拉克梳状函数进行采采样后的频谱为原频谱的周期延拓，延拓的周期为采样周期 $f_s$ ，示意图如下：

也就是说，采样之后的频谱是一个周期函数，我们把 $left[ 0 quad f_s ight]$ 称为主值区间，其中 $left[ frac{1}{2}f_squad f_s ight]$ 是 $left[ -frac{1}{2}f_squad 0 ight]$ 延拓一个 $f_s$ 周期得来的，与 $left[ 0quad frac{1}{2}f_s ight]$ 完全对称，因此我们一般只考虑 $left[ 0quad frac{1}{2}f_s ight]$ 区间，也就是半个单位圆的区域。

二、零、极点分布如何影响频率响应

我们先看个简单的例子，熟悉一下套路。

Ex1： $H(z)=1-z^{-1}=frac{z-1}{z}$

对于这个系统，在 $z=0$ 有一个极点，在 $z=1$ 时有一个零点。零、极点分布如下：

其中 $o$ 表示零点， $imes$ 表示极点。我们来粗略分析一下这个系统的响应会是什么样。从 $z=1$ 也就是单位圆上角度为零（也是频率为零）的点开始，此处 $z=1$ 有一个零点，根据规律1，显然在频率为零时系统响应为零，顺着单位圆沿逆时针方向旋转，我们离零点越来越远，零点的影响也越来越小，因此幅值响应会逐渐增大。当我们到达 $z=-1$ ,也就是频率为 $1/2f_s$ 时，此时离零点最远，因此响应会达到一个最大值，当频率继续增大时，由于离零点又开始接近了，幅值响应又开始变小。

细心的童鞋可能发现了另外一个端倪，你刚分析了零点，可系统明明还有一个极点啊！——没错，为你的细心点赞——我们仔细观察，发现极点正好位于圆心位置，也就是说所有频率段离极点的距离都一样，因此可以认为都没影响。

用freqz函数将系统的频响画出来，就长成下图的样子，这也印证了我们之前的分析，这个系统本质上是一个高通滤波器。

%%
clc;clear;
fs=1e4;b=[1 -1];a=[0 1];
[h,f] = freqz(b,a,2001,'whole',fs);N=round(0.5*length(h));
plot(f(1:N)/fs,20*log10(abs(h((1:N)))),'linewidth',2,'color','k');
ax = gca;ax.YLim = [-60 10];ax.XTick = 0:.1:0.5;
xlabel('Normalized Frequency (f/fs)');ylabel('Magnitude (dB)');
grid on;title('Made by J Pan')

这个系统换做时域是什么样？

$H(z)=1-z^{-1}$

若 $Y(z)$ 为系统输出， $X(z)$ 为系统输入，则 $Y(z)=H(z)X(z)=(1-z^{-1})X(z)=X(z)-z^{-1}X(z)$

进行逆变换就可以得到：

$y[n]=x[n]-x[n-1]$

这本质就是一个差分，对应连续系统的微分，我们知道微分对应的是传递函数是 $s$ ，稳态时为 $s=jomega$ ,这显然是一个高通滤波器，与前面的分析是一致的。

Ex2： $H(z)=1+z^{-1}=frac{1+z}{z}$

很容易看出系统的零极点图如下：

显然，零点跑到了 $1/2f_s$ 处，因此，系统的频响会先减小，到 $1/2f_s$ 处达到最小值，然后又增加，具体频响如下图，这本质上是一个低通滤波器。

%%
clc;clear;
fs=1e4;b=[1 1];a=[0 1];
[h,f] = freqz(b,a,2001,'whole',fs);N=round(0.5*length(h));
plot(f(1:N)/fs,20*log10(abs(h((1:N)))),'linewidth',2,'color','k');
ax = gca;ax.YLim = [-60 10];ax.XTick = 0:.1:0.5;
xlabel('Normalized Frequency (f/fs)');ylabel('Magnitude (dB)');
grid on;title('Made by J Pan')

很容易得到时域的表达式为： $y[n]=x[n]+x[n-1]$

这本质就是一个离散求和，对应连续系统的积分，我们知道微分对应的是传递函数是 $1/s$ ，稳态时为 $1/s=1/{(jomega)}$ ,这显然是一个低通滤波器，与前面的分析是一致的。

Ex3：假如我们在0到 $frac{1}{2}f_s$ 之间放置一个零点，那会不会是一个带阻滤波器呢？比如我们想在频率在 $frac{3f_s}{8}$ 这个点的系统频率响应为零。

频率 $frac{3f_s}{8}$ 所在点对应的相角为 $frac{3pi}{4}$ ，由第一部分可知，频率响应在 $left[ 0quad frac{1}{2}f_s ight]$ 与 $left[ frac{1}{2}f_squad f_s ight]$ 之间具有对称性，因此上述系统在相角为 $-frac{3pi}{4}$ 处也有一个零点。

转化成传递函数就是：

$H(z)= left( z-e^{jfrac{3pi}{4}} ight)left( z-e^{-jfrac{3pi}{4}} ight)$

展开可以获得：

$H(z)=z^2-2zcos(frac{3pi}{4})+1$

即 $H(z)=z^2+sqrt{2}z+1$

%%
clc;clear;
fs=1e4;b=[1 sqrt(2) 1];a=[0 0 1];
[h,f] = freqz(b,a,2001,'whole',fs);N=round(0.5*length(h));
plot(f(1:N)/fs,20*log10(abs(h((1:N)))),'linewidth',2,'color','k');
ax = gca;ax.YLim = [-60 10];ax.XTick = 0:.1:0.5;
xlabel('Normalized Frequency (f/fs)');ylabel('Magnitude (dB)');
grid on;title('Made by J Pan')

这个系统换做时域是什么样？

$H(z)=z^2+sqrt{2}z+1$

若 $Y(z)$ 为系统输出， $X(z)$ 为系统输入，则

$Y(z)=H(z)X(z)=(z^2+sqrt{2}z+1)X(z)$

进行逆变换就可以得到：

$y[n]=x[n+2]+sqrt{2}x[n+1]+x[n]$

Ex4： $H(z)=z-0.5$

前面，我们把零点和极点都放在了单位圆上，那能不能放在其他位置呢？——单位圆外面是不行的，因为外面对应着s域的正半轴，系统是不稳定；内部呢？我不妨把零点先放在x轴上试试，放在 $z=0.5$ 这个点上。

粗略分析，当 $z=1$ 时（对应频率为零）离零点最近，此时频率响应应该最小，但不为零。当 $z=-1$ 时（对应 $frac{1}{2}f_s$ ）离零点最远，响应应该到达最大值。

可见，零极点的位置决定了系统在不同频率下的响应情况。

%%
clc;clear;
fs=1e4;b=[1 -0.5];a=[0 1];
[h,f] = freqz(b,a,2001,'whole',fs);
N=round(0.5*length(h));
plot(f(1:N)/fs,20*log10(abs(h((1:N)))),'linewidth',2,'color','k');
ax = gca;ax.YLim = [-7 5];ax.XTick = 0:.1:0.5;
xlabel('Normalized Frequency (f/fs)');
ylabel('Magnitude (dB)');
grid on;title('Made by J Pan')

Ex5： $H(z)=z^6-1$

这个传递函数有点意思了，它有6个根——都是复数哦！

我们可以将上述方程写成如下格式： $z^6=e^{j2pi n} quad n=0,1,2,3,4,5$

所以解为： $z=e^{jfrac{2pi n}{6}}$

总共有6个根均布在单位圆上，如下图：

我们可以画出如下的频率响应，可见其本质是一个多个带阻的滤波器。这种滤波器有啥用呢？我们知道，市电频率是50Hz，其带来的干扰一般就是50Hz其整数倍谐波100Hz、150Hz，200Hz等，选择这种数字滤波器就可以消除类似于市电50Hz带来的噪声影响。

%%
clc;clear;
fs=1e4;b=[1 0 0 0 0 0 -1];a=[0 0 0 0 0 0 -1];
[h,f] = freqz(b,a,2001,'whole',fs);
N=round(0.5*length(h));
plot(f(1:N)/fs,20*log10(abs(h((1:N)))),'linewidth',2,'color','k');
ax = gca;ax.YLim = [-30 10];ax.XTick = 0:.1:0.5;
xlabel('Normalized Frequency (f/fs)');
ylabel('Magnitude (dB)');
grid on;title('Made by J Pan')

Ex6： $H(z)=frac{z^6-1}{z-1}$

对于该函数，其零点位于 $z^6-1=0$ 处，6个零点均匀分布在单位圆上。

另外，在 $z=1$ 处还有一个极点，与该处的零点重合，零极点如下图所示。

可见，在 $z=1$ 处由于零极点重合，并未对系统产生影响，也就是说，如果想消除某零点给系统带来的影响，我们可以再该位置同时也放置一个极点；反之亦然。

观察一下与Ex5的频响的区别，是不是很有意思？

clc;clear;
fs=1e4;b=[1 0 0 0 0 0 -1];a=[0 0 0 0 0 1 -1];
[h,f] = freqz(b,a,2001,'whole',fs);
N=round(0.5*length(h));
plot(f(1:N)/fs,20*log10(abs(h((1:N)))),'linewidth',2,'color','k');
ax = gca;ax.YLim = [-30 20];ax.XTick = 0:.1:0.5;
xlabel('Normalized Frequency (f/fs)');
ylabel('Magnitude (dB)');
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三、如何简单粗暴的设计一个FIR滤波器

前面套路差不多说完了——有高通、低通、带阻滤波器，好像还没有带通滤波器，下面我们就拿带通滤波器来练练手。

要求如下：在125Hz时频率响应达最大值，采样频率 $f_s=1000Hz$ 。

由于125Hz是采样频率1000Hz的1/8，我们先均匀布置8个零点在单位圆上，这样就能保证有一个零点是位于125Hz处的。

我们知道，零点位置时频率响应最小的点，我们现在是想要在125Hz（相角 $jfrac{pi}{4}$ ）处响应最大，貌似有矛盾——没关系，我们可以再放个极点，将这个零点抵消掉（规律4）！

由于对称性呢，在-125Hz（相角 $-jfrac{pi}{4}$ ）也要放置一个极点。最终零、极点分布如下图：

由Ex5可知，均匀分布的8个点，对应的传递函数的分子为 $z^8-1$ ，两个极点对应传递函数的分母为 $left(z-e^{jfrac{pi}{4}} ight)left(z-e^{-jfrac{pi}{4}} ight)$ ，所以总的传递函数为：

$H(z)=frac{z^8-1}{left(z-e^{jfrac{pi}{4}} ight)left(z-e^{-jfrac{pi}{4}} ight)}$

化简一下：

$H(z)=frac{Y(z)}{X(z)}=frac{z^8-1}{z^2-sqrt{2}z+1}$

这就是我们要的传递函数了，换成时域是什么样呢？

$z^2Y(z)-sqrt{2}zY(z)+Y(z)=z^8X(z)-X(z)$

逆变换一下：

$y[n+2]-sqrt{2}y[n+1]+y[n]=x[n+8]-x[n]$

平移一下：

$y[n]-sqrt{2}y[n-1]+y[n-2]=x[n+6]-x[n-2]$

即

$y[n]=sqrt{2}y[n-1]-y[n-2]+x[n+6]-x[n-2]$

细心地童鞋可能注意到： $x[n+6]$ 是未来的数啊，这显然不太合理，那怎么办呢？——还记得Ex1吗？我们可以再圆点处加极点啊，当其他零极点都在单位圆上时不影响频率响应，如下图：

则传递函数变成了：

$H(z)=frac{z^8-1}{z^6left(z-e^{jfrac{pi}{4}} ight)left(z-e^{-jfrac{pi}{4}} ight)}$

最终时域关系变为了：

$y[n]=sqrt{2}y[n-1]-y[n-2]+x[n]-x[n-8]$

%%
clc;clear;
fs=1e4;b=[1 0 0 0 0 0 0 0 -1];a=[1 -sqrt(2) 1];
[h,f] = freqz(b,a,2001,'whole',fs);
N=round(0.5*length(h));
plot(f(1:N)/fs,20*log10(abs(h((1:N)))),'linewidth',2,'color','k');
ax = gca;ax.YLim = [-30 20];ax.XTick = 0:.1:0.5;
xlabel('Normalized Frequency (f/fs)');
ylabel('Magnitude (dB)');
grid on;title('Made by J Pan')

怎么样，读到这的时候你是不是已经开始跃跃欲试了？那就开始拿起笔和纸，试试吧！

转载自知乎——讲的真是通俗易懂，膜拜啊。