首先。我们谈一下素数的定义。什么是素数?除了1和它本身外,不能被其它自然数整除(除0以外)的数
称之为素数(质数);否则称为合数。
依据素数的定义,在解决问题上,一開始我想到的方法是从3到N之间每一个奇数进行遍历,然后再依照素数的定义去逐个除以3到
根号N之间的奇数,就能够计算素数的个数了。
于是便编写了以下的代码:
(代码是用C++编写的)
#include<iostream> #include <time.h> using namespace std; const int N = 1000000; int compuPrimeN(int); int main(char argc, char* argv[]) { int iTimeS = clock(); int iNum = compuPrimeN(N); int iTimeE = clock(); cout << iNum << endl; cout << "算法时间:" <<iTimeE - iTimeS<<"毫秒"<< endl; getchar(); return 0; } int compuPrimeN(int maxNum) { //算法1 int iNum = 1; //起始记上2 bool bPrime = true; for (int i = 3; i <= maxNum; i += 2) { bPrime = true; for (int j = 3; j <= (int)sqrt(i); j += 2) { if (i%j == 0) { bPrime = false; break; } } if (bPrime) iNum++; } return iNum; }执行后如图所看到的:
由此可见。算法的性能不是非常好,在时间上还有非常大能够优化的空间。
那么,该怎样优化?
首先,我是想,既然去掉了2的倍数,那么能不能去掉3的倍数。但后来
发现,在第二个循环里第一个取余的就是3,那么3的倍数事实上仅仅计算了一次
就过滤,全部没有必要再往下思考。
后来我想到。在第二个循环里。3取余过了,假设没跳出循环,那么6。9之类的
应该不用继续取余,同理。5取余过了。那么10,15...就不该继续取余,由于取余
5不为0,那么取余10,15肯定也不为0.换言之。那么不该取余的事实上是合数!
!
why?由于假设是合数,那么比他根号本身小的数里肯定有它能取余的,也就是
之前我们想过滤掉不想取余的数,这样一来,事实上我们仅仅要在第二循环里取余
比其根号本身要小的质数就能推断出来了!而那些质数我们在求该数之前就已经
找出来了,那么我们仅仅要将其记录下来即可了!!
于是乎,遵循乎该思路,我将compuPrimeN()函数重写,写出了第2个算法:
int compuPrimeN(int maxNum) { //算法2 int iNum = 1; //记录素数总个数 int iRecN = 1; //记录在数组内素数的个数 bool bPrimeN = true; int sqrtMaxN = (int)sqrt(maxNum); //我们要记录小于sqrtMaxN内的素数,为使空间分配最优,大小为x/ln(x)*1.2, //由于科学家发现一个求素数大致范围的近似公式x/ln(x), //为了不数组越界,多加20%范围 //注意maxNum为3时为特例。由于此处ln(根号3)为0 int* iPrime = new int[maxNum == 3 ? 1 : (int)((float)sqrtMaxN / log(sqrtMaxN)*1.2)]; for (int i = 3; i <= maxNum; i += 2) { bPrimeN = true; //仅仅要取余范围内的素数就好了 for (int j = 1; j < iRecN; j++) { if (i%iPrime[j] == 0) { bPrimeN = false; break; } } if (bPrimeN) { if (i <= sqrtMaxN) { iPrime[iRecN] = i; iRecN++; iNum = iRecN; } else iNum++; } } delete []iPrime; return iNum; }执行后如图所看到的:
看,优化后算法的时间性能比原来好了19倍左右。
那能不能更快呢?
我想理论上是能够的,由于前面的算法都用到了一种思想,
事先过滤掉了2,3的倍数。假设我们能把5,7,11的倍数都
事先过滤掉那不是更快吗?
这里为什么没有9,由于9的倍数即是3的倍数啊,咦?好像
发现了什么。和算法2的思想有点类似,假设我们能事先过滤掉
质数倍数,那么不是能过滤掉非常多合数了吗。而对于该质数+1。
无非是两种情况。其一是它是被过滤掉的合数,其二是它是质数。
否则它应该在之前过滤掉的啊!!而我们仅仅要在过滤的过程中,
把遇到的不能过滤的统计起来。不就是我们所求的质数吗?
这样一来,时间性能不是能更进一步优化了吗?对,可是要事先
过滤掉这么多的合数。并将其行为记录下来,就要消耗极大的
空间了,这就是典型的空间换时间!
!
于是,我写的算法3便诞生了,例如以下:
int compuPrimeN(int maxNum) { //算法3 //用bool型大数组来记录,true为素数,false为偶数 //由于求素数个数,所曾经两个能够忽略. bool* bArray = new bool[maxNum + 1]; for (int i = 2; i <= maxNum; i++) bArray[i] = true; int iNum = 0; for (int i = 2; i <= maxNum; i++) { //替换后面的合数为false if (bArray[i]) { iNum++; for (int j = i + i; j <= maxNum; j += i) { bArray[j] = false; } } } delete []bArray; return iNum; }执行后如图:
哇!
没想到算法的时间居然可以优化如此高速。!可是,好像耗费的空间
存储有点多,仅用bool型的数组记录似乎有点浪费,能不能在每一个bit上用0或1
来取代记录呢?
于是。我又写了以下的算法:
int compuPrimeN(int maxNum) { //算法4 //用每一个位0或1来分别表示合数和素数 //优点是内存空间利用最大化 int size = maxNum % 8 == 0 ?执行结果如图:maxNum / 8 : maxNum / 8 + 1; unsigned char* array = new unsigned char[size]; for (int i = 0; i < size; i++) array[i] = 127; int iNum = 0, iBit = 0, index = 0; for (int i = 2; i <= maxNum; i++) { index = i / 8; (iBit = i % 8) == 0 ? iBit = 7, index-- : iBit--; if (array[index] & (1 << iBit)) { iNum++; for (int j = i + i; j <= maxNum; j += i) { index = j / 8; (iBit = j % 8) == 0 ?
iBit = 7, index-- : iBit--; array[index] = array[index] & (~(1 << iBit)); } } } delete []array; return iNum; }
尽管因为二进制的计算使其在时间性能上比算法3要慢上那么一点,
可是换做bit来记录素数或合数,却是让空间存储变为了原来的1/8,
其优点是不言而喻的。假设没有内存空间问题。那么用算法3也是
无可厚非的。假设对内存空间要求比較严格,那么算法2才是最佳
首选。
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可是除了上面四种算法之外,我想到了一种近乎作弊的第5种方法。这样的方法用在比赛的
题目中,可能会引起非议。但在实际应用之中,却是一种非常值得借鉴的方法,这之中蕴含
着一种非常重要的思想。我称之为“用已知换未知”。!
其思想为:将求出的已知数据按一定格式保存起来,在以后须要的时候,仅仅要读取一次
该数据。就能求得该结果。其算法时间为O(1).
比如该问题,如果我们在实际应用的过程中仅须要用到N <= 1亿的N以内的素数个数
(N需求很多其它时可在计算机存储范围内对应添加,只是对应的预处理时间也会添加)。
那么我们能够先调用例如以下这个函数将N(N <= 1亿)以内素数个数的数据用二进制存储起来。
void savPrimeN(int maxNum) { ofstream ofPrimeF("PrimeNum.data", ios::binary); int iNum = 0; //预先写入两次0,分别作为0,1以内素数的个数 for (int i = 0; i < 2;i++) ofPrimeF.write((const char*)(&iNum), sizeof(int)); //用bool型大数组来记录,true为素数,false为偶数 //由于求素数个数,所曾经两个能够忽略. bool* bArray = new bool[maxNum + 1]; for (int i = 2; i <= maxNum; i++) bArray[i] = true; int sizeInt = sizeof(int); for (int i = 2; i <= maxNum; i++) { //替换后面的合数为false if (bArray[i]) { iNum++; for (int j = i + i; j <= maxNum; j += i) { bArray[j] = false; } } ofPrimeF.write((char*)(&iNum), sizeInt); } delete []bArray; ofPrimeF.close(); }
如今我们已经将N(N <= 1亿)以内素数的个数依照每4个字节的格式存储到二进制文件其中了,那么当我们须要
求N(N<=1亿)以内素数的个数的时候,我们仅仅要到该二进制文件里读取对应的数据就能够了。
例如以下所看到的:
int compuPrimeN(int maxNum) { //算法5 ifstream ifPrimeN("PrimeNum.data", ios::binary); int iNum = 0; ifPrimeN.seekg(maxNum*4, ios::beg); ifPrimeN.read((char*)(&iNum), sizeof(iNum)); ifPrimeN.close(); return iNum; }
看看如今的运算时间:
由于clock()函数计算程序启动到函数调用占用CPU的时间是精确到毫秒的,
这也就意味着我们算法的时间不超过1毫秒!!
而这一切,都是得益于我们
自己所建立的一个所谓的“数据库”,有了这个“数据库”,仅仅要保证N<=1亿,
我们在运算时间的性能上都是毫无压力的。。!
总结:
在思考和编码中。我深深的体会到了,算法优化的重要性。而要想成为
一个优秀的程序猿,那么就必须明确。算法是程序的灵魂。!