Discreat fourier transform summary
1. 傅里叶变换 与 离散傅里叶变换DFT
DFT 是一个数学过程：用于确定离散信号的频率成分。
离散信号时重连续信号中采样而得。
来看下数学语言表达：
傅里叶变换：
DFT: 
2. 对于DFT的理解：
先来一段直觉上的理解：（是傅里叶变换的理解）（来句题外话：数学语言果然是最简洁精确的科学语言！！！！）
傅里叶变化是将时域的信息转到频域，重而可以重另一个角度来处理这些在时域上比较复杂的信息
这是一个时域到频域的映射过程
在频域中是由这些个‘频域分量’
构成频域世界的坐标（其实本来是频率本身作为坐标的）。 我认为cos与sin只是作为频率的载体
（sin与cos函数中同时存在时间与频率cos（wt））频率与时间无法直接映射所以只能找cos这个函数作为中转站
假设时间域必可转换成频域
频域基本元素f （某种联系）基本元素cos（wt） 由假设得 时域中任何信号必可用
的集合表示
我们需要的是一个时间与频率的关系 这样当我们在对频率信号处理时 即是对时间信号处理
当f与cos（wt）联系上时 （cos是整个时间域上的函数） f已经与整个时间域上所有t有啦联系
而我们需要把时间域上的幅值映射到频域 这里用到的一个方法是把某个频率的cos函数与每个时域t上的幅值相乘 ，最后相加 ，代表这个频率的幅值
至此，t与f的映射已经很明了啦
最后强调;我们只需要一种关系一种映射 我们可以变来变去 选择任何一个容易处理的状态，处理好后变成另一个我们需要的状态 只要我们清楚他们之间的关系！！！
先用欧拉公式
对原式展开：
对以上各种字母的理解：
注意：ω=(2πm)/N
：为第m个DFT的输出 
为各个输入采样点的序列（值）
N :为输入序列的样点数 同时也表示经过DFT后 输出的频率点数
因此可产生的频率数为N个。 
因为是离散的所以频率成分有限
（时域上输入N个采样点，在DFT后频域上会输出N个值）
（N决定频域输出结果的分辨率（即最小频率间隔） 以及计算N点DFT的处理时间）
来看看这个式子吧哪些信息联系起来啦：
其中有相位与和幅值两个信息
简单的表示为
幅值信息：
相位：
提一下：幅度的平方为功率谱
强调：1.单个X(m)的输出是项与项的乘积之和，是输入采样序列与频率为m/N的正弦波的相关
2.当DFT 的输入采样值为实数时，DFT输出项是对称的。
来看下DFT 的对称性
当输入序列为实数时 m>N/2时频域上幅度的输出值与前半部分相同 且实部偶对称 虚部奇对称
数学解释：
DFT的线性：
两个信号的DFT等于各个信号的和
DFT泄漏
个点与相对应的分析频率
当输入信号的频率成分不是精确等于分析频率是就会发生频率泄漏
DFT输出为曲线上的离散点
窗
加窗为了使旁瓣幅度减小 从而减小泄漏
距形窗 三角窗 汗宁窗
.当旁瓣幅值减小, 同时DFT频率分辨率减小
DFT 分辨率 补零 频域采样
小结
连续傅里叶变换continuous fourier transform
傅里叶级数 fourier series
离散时间傅里叶变换discrete-time fourier trandform
离散傅里叶变换discrete fourier trandform
