[CF930E]/[CF944G]Coins Exhibition

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题目大意：

一个长度为(k(kle10^9))的(01)串，给出(n+m(n,mle10^5))个约束条件，其中(n)条描述区间([l_i,r_i])至少有一个(0)，其中(m)条描述区间([l_i,r_i])至少有一个(1)。求合法的(01)串数量。

思路：

显然直接考虑所有的(k)位，就算(mathcal O(k))的线性算法也会超时，因此对于所有的(l_i-1,r_i)以及(0,k)离散化以后考虑这些关键点即可。

设关键点有(lim)个，对所有关键点排序，(tmp[i])为(i)离散化前对应的数。对所有关键点排序，考虑动态规划，设(f[i][jin{0,1,2}])表示从后往前考虑第(isim lim)个关键点。若(jin{0,1})，则(f[i][j])表示(tmp[i]sim tmp[i+1])中含有(j)的方案数后缀和。若(j=2)，则(f[i][j])表示最后一段同时有(0)和(1)的方案数。用(min[jin{0,1}][i])表示对应约束条件类型为(j)，(i)右侧最近的、对应左端点不在(i)左侧的右端点。状态转移方程如下：

(f[i][0]=f[i+1][0]+f[i+1][1]-f[min[1][i]][1]+f[i+1][2] imes(2^{tmp[i+1]-tmp[i]}-2))
(f[i][1]=f[i+1][1]+f[i+1][0]-f[min[0][i]][0]+f[i+1][2] imes(2^{tmp[i+1]-tmp[i]}-2))
(f[i][2]=f[i+1][0]-f[min[0][i]][0]+f[i+1][1]-f[min[1][i]][1]+f[i+1][2] imes(2^{tmp[i+1]-tmp[i]}-2))

最终答案为(f[0][2])。

时间复杂度(mathcal O((n+m)(log(n+m)+log k)))。其中(mathcal O(log(n+m)))为离散化复杂度，(mathcal O(log k))为快速幂复杂度。

源代码：

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<algorithm>
using int64=long long;
inline int getint() {
	register char ch;
	while(!isdigit(ch=getchar()));
	register int x=ch^'0';
	while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<2)+x)<<1)+(ch^'0');
	return x;
}
constexpr int N=1e5,mod=1e9+7;
std::pair<int,int> p[2][N];
int tmp[N*4+2],min[2][N*4+2],f[N*4+2][3];
inline int power(int a,int k) {
	int ret=1;
	for(;k;k>>=1) {
		if(k&1) ret=(int64)ret*a%mod;
		a=(int64)a*a%mod;
	}
	return ret;
}
int main() {
	const int k=getint(),n=getint(),m=getint();
	int lim=0;
	for(register int i=0;i<n;i++) {
		tmp[++lim]=p[0][i].first=getint()-1;
		tmp[++lim]=p[0][i].second=getint();
	}
	for(register int i=0;i<m;i++) {
		tmp[++lim]=p[1][i].first=getint()-1;
		tmp[++lim]=p[1][i].second=getint();
	}
	tmp[++lim]=k;
	std::sort(&tmp[0],&tmp[lim]+1);
	lim=std::unique(&tmp[0],&tmp[lim]+1)-&tmp[1];
	for(register int i=0;i<=lim;i++) {
		min[0][i]=min[1][i]=lim+1;
	}
	for(register int i=0;i<n;i++) {
		p[0][i].first=std::lower_bound(&tmp[0],&tmp[lim]+1,p[0][i].first)-tmp;
		p[0][i].second=std::lower_bound(&tmp[0],&tmp[lim]+1,p[0][i].second)-tmp;
		min[0][p[0][i].first]=std::min(min[0][p[0][i].first],p[0][i].second);
	}
	for(register int i=0;i<m;i++) {
		p[1][i].first=std::lower_bound(&tmp[0],&tmp[lim]+1,p[1][i].first)-tmp;
		p[1][i].second=std::lower_bound(&tmp[0],&tmp[lim]+1,p[1][i].second)-tmp;
		min[1][p[1][i].first]=std::min(min[1][p[1][i].first],p[1][i].second);
	}
	for(register int i=lim;i;i--) {
		min[0][i-1]=std::min(min[0][i-1],min[0][i]);
		min[1][i-1]=std::min(min[1][i-1],min[1][i]);
	}
	f[lim][0]=f[lim][1]=f[lim][2]=1;
	for(register int i=lim-1;i>=0;i--) {
		int g[3];
		g[0]=(f[i+1][0]-f[min[0][i]][0]+mod)%mod;
		g[1]=(f[i+1][1]-f[min[1][i]][1]+mod)%mod;
		g[2]=(int64)f[i+1][2]*((power(2,tmp[i+1]-tmp[i])-2+mod)%mod)%mod;
		f[i][0]=((int64)f[i+1][0]+g[1]+g[2])%mod;
		f[i][1]=((int64)f[i+1][1]+g[0]+g[2])%mod;
		f[i][2]=((int64)g[0]+g[1]+g[2])%mod;
	}
	printf("%d
",f[0][2]);
	return 0;
}