例如序列X=ABCBDAB，Y=BDCABA。序列BCA是X和Y的一个公共子序列，但是不是X和Y的最长公共子序列，子序列BCBA是X和Y的一个LCS，序列BDAB也是。
寻找LCS的一种方法是枚举X所有的子序列，然后注意检查是否是Y的子序列，并随时记录发现的最长子序列。假设X有m个元素，则X有2^m个子序列，指数级的时间，对长序列不实际。
使用动态规划求解这个问题，先寻找最优子结构。设X=<x1,x2,…,xm>和Y=<y1,y2,…,yn>为两个序列，LCS(X,Y)表示X和Y的一个最长公共子序列，可以看出
如果xm=yn，则LCS ( X,Y ) = xm + LCS ( Xm-1,Yn-1 )。
如果xm!=yn，则LCS( X,Y )= max{ LCS ( Xm-1, Y ), LCS ( X, Yn-1 ) }
LCS问题也具有重叠子问题性质：为找出X和Y的一个LCS，可能需要找X和Yn-1的一个LCS以及Xm-1和Y的一个LCS。但这两个子问题都包含着找Xm-1和Yn-1的一个LCS，等等.
DP最终处理的还是数值（极值做最优解），找到了最优值，就找到了最优方案；为了找到最长的LCS，我们定义dp[i][j]记录序列LCS的长度，合法状态的初始值为当序列X的长度为0或Y的长度为0，公共子序列LCS长度为0，即dp[i][j]=0，所以用i和j分别表示序列X的长度和序列Y的长度，状态转移方程为
dp[i][j] = 0 如果i=0或j=0
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1 如果X[i-1] = Y[i-1]
dp[i][j] = max{ dp[i-1][j], dp[i][j-1] } 如果X[i-1] != Y[i-1]
求出了最长公共子序列的长度后，输出LCS就是输出dp的最优方案了，既可以用一个额外的矩阵存储路径，也可以直接根据状态转移矩阵倒推最优方案。
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAXLEN 100
void LCSLength(char *x, char *y, int m, int n, int c[][MAXLEN], int b[][MAXLEN])
{
int i, j;
for(i = 0; i <= m; i++)
c[i][0] = 0;
for(j = 1; j <= n; j++)
c[0][j] = 0;
for(i = 1; i<= m; i++){
for(j = 1; j <= n; j++){
if(x[i-1] == y[j-1]){
c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
b[i][j] = 0;
}else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1]){
c[i][j] = c[i-1][j];
b[i][j] = 1;
}else{
c[i][j] = c[i][j-1];
b[i][j] = -1;
}
}
}
}
void PrintLCS(int b[][MAXLEN], char *x, int i, int j)
{
if(i == 0 || j == 0)
return;
if(b[i][j] == 0)
{
PrintLCS(b, x, i-1, j-1);
printf("%c ", x[i-1]);
}
else if(b[i][j] == 1)
PrintLCS(b, x, i-1, j);
else
PrintLCS(b, x, i, j-1);
}
int main(int argc, char **argv)
{
char x[MAXLEN] = {"ABCBDAB"};
char y[MAXLEN] = {"BDCABA"};
int b[MAXLEN][MAXLEN];
int c[MAXLEN][MAXLEN];
int m, n;
m = strlen(x);
n = strlen(y);
LCSLength(x, y, m, n, c, b);
PrintLCS(b, x, m, n);
return 0;
}如果不需要输出序列，则可以使用滚动数组的方式
#include <iostream>
using namespace std;
//滚动数组
int dp[2][21]; //存储LCS长度
char X[21];
char Y[21];
int i, j, k;
void main()
{
cin.getline(X,20);
cin.getline(Y,20);
int xlen = strlen(X);
int ylen = strlen(Y);
for(i = 1; i <= xlen; ++i)
{
k = i & 1;
for(j = 1; j <= ylen; ++j)
{
if(X[i-1] == Y[j-1])
{
dp[k][j] = dp[k^1][j-1] + 1;
}else if(dp[k][j-1] > dp[k^1][j])
{
dp[k][j] = dp[k][j-1];
}else
{
dp[k][j] = dp[k^1][j];
}
}
}
printf("len of LCS is: %d
", dp[k][ylen]);
}