前面介绍隐马尔可夫模型时，讲到其可以作为自然语言处理的一种方法，但是隐马尔可夫做了很强的假设：齐次马尔可夫性假设和观测独立性假设，这两个假设却也影响了分类的准确性。而本篇介绍的条件随机场能弥补这一不足，因为去掉了观测独立性假设。参考文献1，我们简单介绍四个概率模型，并分析其之间的关系，最后再引出条件随机场，这样会显然自然些，也比较容易理解。
概率模型
朴素贝叶斯模型是给定一个特征向量从而决定单个分类变量值。设输入为特征向量$x in cal X = f R^n$，输出为类标记$y in cal Y$，X是定义在输入空间$cal X$上的随机变量，Y是定义在输出空间上的$cal Y$上的随机变量，联合概率分布为P(X,Y)，当输入为x时，预测其分类y。隐马尔可夫则是朴素贝叶斯模型的扩展，处理分类的序列而非单个分类，比如(x1,x2,...,xt)，对应分类为(y1,y2,...,yt)。朴素贝叶斯模型和隐马尔可夫模型都是生成模型（Generative，即 X和Y的联合概率分布）。
联合概率分布的缺点是计算的复杂度很高。而相反地，最大熵模型基于条件概率p(y|x)，与朴素贝叶斯模型类似，最大熵模型也是处理对应单个特征向量的单个分类值。隐马尔可夫模型对朴素贝叶斯模型扩展到输入序列上来，条件随机场可以理解为对最大熵模型扩展到输入序列上来，最大熵模型和条件随机场模型都是判别模型（Discriminative，即Y关于X的条件概率分布）。
它们的关系如下图
如上图所示，左边两个模型考虑联合概率分布，右边两个模型考虑条件概率分布，上面两个模型考虑单个分类判断，而下面两个模型考虑分类序列判断。
朴素贝叶斯模型
我们使用条件概率分布来预测，条件概率为，
egin{equation} p(y|vec{x}) = frac {p(y)p(vec {x} |y)} {p(vec x)} end{equation}
给定一个输入向量$vec x$后，计算(1)的条件概率，值最大时对应的那个分类y 就是最终预测的分类，那么，既然给定了$vec x$，计算不同的y所对应的条件概率，那么(1)式的分母就不重要了，因为都一样，可看作常数（这里变量是y），而(1)式分子就是联合概率$p(y)p(vec {x} |y) = p(y, vec x)$，而这个联合概率计算有些复杂，尤其在输入向量$vec x$的分量很多时更加复杂。假设向量$vec {x} = (x_1, x_2, ..., x_m)$，那么
egin{equation} egin{aligned} p(x_1,x_2,...x_m) & = p(x_m|x_{m-1},...,x_1)p(x_{m-1},...x_1) \ & = p(x_m|x_{m-1},...,x_1)p(x_{m-1}|x_{m-2},...x_1)p(x_{m-2},...,x_1) \ & = p(x_m|x_{m-1},...,x_1)p(x_{m-1}|x_{m-2},...x_1) ... p(x_2|x_1)p(x_1) \ & = p(x_1) prod_{i=2}^m p(x_i|x_{i-1},...x_1) end{aligned} end{equation}
结合(1)和(2)，有
egin{equation} p(y,vec{x})=p(y)p(x_1|y) prod_{i=2}^m p(x_i|x_{i-1},...x_1,y) end{equation}
实际中通常假设分量 $x_i$ 关于y 的条件独立于$vec x$其他分量，这就是朴素贝叶斯假设。那么$p(x_i|y,x_j)=p(x_i|y)$，其中 $i eq j$。于是朴素贝叶斯模型为
egin{equation} p(y|vec x) propto p(y, vec x) = p(y) prod_{i=1}^m p(x_i|y) end{equation}
显然，上式简单多了，但是朴素贝叶斯的条件独立性假设会使得实际上分类没那么准确。
隐马尔可夫模型
朴素贝叶斯模型中，我们仅考虑单个分类预测。如果要考虑分类序列的预测，假设观测序列为$vec x = (x_1,x_2,...,x_n)$，要预测的分类序列为$vec y = (y_1, y_2,...,y_n)$，注意这里的下标对应序列中的下标，那么自然而然地，可以将序列看到一个个朴素贝叶斯模型，然后将它们连乘，就表示这个序列中各项同时发生。不考虑序列中各项的依赖性，并且与朴素贝叶斯稍有不同的是，序列中每一项仅对应一个输入特征，即观测实体，那么根据(4)式有
egin{equation} p(vec {y},vec {x}) = prod_{i=1}^n p(y_i) p(x_i|y_i) end{equation}
在对应位置上，每个观测$x_i$只依赖于分类值$y_i$，由于这个独立性假设，此模型并未包含转移概率。然而实际中很难满足这个独立性假设，这也导致此模型的实用性受限。因此，可以假设在序列的连续位置上分类之间有一定的相关性，于是模型变为，
egin{equation} p(vec y, vec x) = prod_{i=1}^n p(y_i|y_{i-1})p(x_i|y_i) end{equation}
其中由于没有第0位置观测，所以我们为了上式书写的一致性，令$p(y_1|y_0)=p(y_1)$，于是可以得到观测序列出现的概率可以通过对所有分类序列求和，为
egin{equation} P(vec x) = sum_{y in mathcal{Y} } prod_{i=1}^n p(y_i|y_{i-1}) p(x_i|y_i) end{equation}
其中，$mathcal {Y}$表示所有的分类序列$vec y$。
此模型考虑了分类序列$vec y$中的各连续分类之间的依赖性，但是缺点是观测序列之间的条件独立性的假设，这使得模型不能很好的表征实际情况。后面我们将看到，CRF可以解决这一问题。
最大熵模型
前两个模型是学习联合概率分布，而这里最大熵模型则是条件概率模型，由于其与我们要讨论的CRF比较接近，CRF是最大熵模型从单个分类扩展到分类序列上的，所以可以着重讨论一下最大熵模型，然而也可以与前面几篇专门讲最大熵模型对比一下，加深最大熵模型的印象。
最大熵模型基于最大熵原理，表述如下：给定一个概率分布的不完全信息，那么除了这个已知信息之外对于那些未知部分的概率分布，总是认为是均匀分布的。基于这个设定，从训练数据集中找到约束条件后，在这些约束条件下，使得熵达到最大的那个概率分布正是我们所要的。
我们知道对于随机变量X，其熵定义为
egin{equation} H(P)=-sumlimits_{x}P(x)logP(x)end{equation}
那么，对于条件概率P(Y|X)，其中Y表示输出随机变量，X表示输入随机变量，那么条件熵定义为，
egin{equation} H(y|x) = - sum_{(x,y) in mathcal{Z}} p(y,x) log p(y|x) end{equation}
其中，$mathcal{Z}= X imes Y$表示所有可能的输入X与所有可能的输出Y的组合，注意这是指所有输入空间X的值和输出空间的Y的值的组合，而不仅仅是存在于训练数据集中的样本点(x,y)。如果对上式还不那么容易看透的话，可以这么理解，
$$ H(P) = - sum_{x}p(x)H(Y|X=x) = -sum_{x}p(x) sum_{y} p(y|x) log p(y|x) = - sum_{x} sum_{y} p(x)p(y|x) log p(y|x) = - sum_{x,y} p(x,y) log p(y|x) $$
最大熵模型就是要找到概率分布$p^{*}(y|x)$，使得条件熵值最大，于是目标函数为
egin{equation} p^{*}(y|x) = arg max_{p(y|x) in P} H(y|x) end{equation}
其中P是所有可能的概率模型，但是这些概率模型必须要与训练数据集一致没有冲突，比如说训练数据集有 m 个特征函数，为了简单，我们假设特征函数为二值函数$f_{i}(x,y) in lbrace 0,1 brace (1 leq i leq m)$，当输入x 和输出y 满足某一条件时，特征函数值为1，否则为0，需要注意的是对任意一个特征函数$f_{i}(x,y)$，都是针对所有输入x和所有输出y，而非某一个输入输出(x,y)，这个要特别注意。
egin{equation} f_{i}(x,y) = egin{cases} 1 & ext {x与y满足某一事实} \ 0 & ext {否则} end{cases} end{equation}
其中 ${(x,y)| (x,y) in mathcal{Z}}$
特征函数$f_i$的期望根据经验概率分布$ ilde{p}(x,y)$来估计，于是
egin{equation} ilde{E}(f_i) = sum_{(x,y) in mathcal{Z}} ilde{p}(x,y)f_{i}(x,y) end{equation}
这里(x,y)属于整个输入空间和输出空间所有值的组合，然而如果某个(x,y)在训练数据集中并不存在对应的样本点，那么其经验概率$ ilde{p}(x,y) = 0$，所以可以去掉那些在训练数据集中不存在的(x,y)，于是上式可以改写为
egin{equation} ilde{E}(f_i) = frac 1 N sum_{(x,y) in mathcal{T}} f_{i}(x,y) end{equation}
其中 $N = |mathcal T|$，$mathcal T$表示训练数据集，$mathcal T$可能存在重复的(x,y)，于是上式可以理解为：训练数据集中满足某一特征函数值为1的样本点(x,y)的个数除以训练数据集的大小，就是这一个特征函数的经验期望。
而特征函数的期望为
egin{equation} E(f_i) = sum_{(x,y) in mathcal{Z}} p(x,y) f_{i}(x,y) end{equation}
由于联合概率分布p(x,y)无法计算，因为输入空间和输出空间的值的组合(x,y)数量巨大，可以转为计算条件概率，于是上式可以写为
egin{equation} E(f_i) = sum_{(x,y) in mathcal{Z}} p(x) p(y|x) f_{i}(x,y) end{equation}
上式中，可以使用$ ilde{p}(x)$代替$p(x)$，于是有
egin{equation} E(f_i) = sum_{(x,y) in mathcal{Z}} ilde{p}(x) p(y|x) f_{i}(x,y) end{equation}
类比上面(13)式，由于只有$ ilde{p}(x)$是经验概率，且$ ilde{p}(x) = frac {N(x)} N$，N(x)表示输入x 在训练数据集中出现的次数，所以将x和y拆分两个独立的维度进行求和，y还是对输出空间$mathcal Y$的所有可能值求和，而x对训练数据集中出现的每一个输入求和（包括重复出现的输入），于是上式变换为，
egin{equation} E(f_i) = sum_{(x,y) in mathcal{Z}} frac {N(x)} N p(y|x) f_{i}(x,y) = frac 1 N sum_{x in mathcal{T}} sum_{y in mathcal{Y}} p(y|x) f_{i}(x,y) end{equation}
其中N表示训练数据集$mathcal T$的大小，两重求和，内层求和是对所有输出空间的可能值y求和，而外层求和是对训练数据集中所有出现的输入x（x可以出现重复）求和，理解上式的变换需要注意求和符号Sigma下标的变化。
实际问题中，输出空间$cal Y$往往可能的取值数量比较小，可以保证上式的计算量不会很大。
我们要求$p^{*}(y|x)$与训练数据集中数据某些特征相一致，也就是说假设求得$p^{*}(x,y)$，那么代入(17)式计算得到特征函数的期望，应该与这个特征函数的经验期望（(12)式）相等，于是有，
egin{equation} E(f_i) = ilde{E}(f_i) end{equation}
另外还有一个限制，既然是求条件概率p(y|x)，那么必须满足概率的基本性质，即
egin{equation} p(y|x) geq 0 quad for forall(x,y) quad quad sum_{y in mathcal{Y}} p(y|x) = 1 quad for forall x end{equation}
假设特征函数有m个，那么限制条件总共为m+1个，目标函数由(11)式给出，这是一个带约束条件的优化问题，于是采用拉格朗日乘子法，为每个约束条件引入一个乘子$lambda_i$，拉格朗日函数为
egin{equation} L(p,vec {lambda}) = H(y|x) + sum_{i=1}^m lambda_{i} left( E(f_i) - ilde{E}(f_i) ight) + lambda_{m+1} left( sum_{y in mathcal{Y}} p(y|x) - 1 ight) end{equation}
下面做简单的推导，
根据(9)式，类似地近似计算条件熵为
egin{equation} H(y|x) = - sum_{(x,y) in mathcal{Z}} ilde{p}(x)p(y|x) log p(y|x) end{equation}
对p(y|x)求偏导，这里需要注意的是，其实是对$p(x_i,y_i)$求偏导，此时其他所有$p(x_j,y_j), (j eq i)$可以看作常数（另外，$ ilde{p}(x)$也是常数），也就是说，求得的偏导不只一个式子，而是一系列的偏导式子，理论上共有$|mathcal Z|$个，
egin{equation} frac {partial H(y|x)} {partial p(y|x)} = - ilde{p}(x) left(log p(y|x) + frac {p(y|x)}{p(y|x)} ight) = - ilde{p}(x)(logp(y|x)+1) end{equation}
对拉格朗日函数中关于m个特征函数的那一项求p(y|x)的偏导，因为$E(f_i)$中的变量包括p(y|x)，所以可以对其求偏导，如下
egin{equation} egin{aligned} frac {partial} {partial p(y|x)} sum_{i=1}^m lambda_i left( E(f_i) - ilde{E}(f_i) ight) & = frac {partial} {partial p(y|x)} sum_{i=1}^m lambda_i left(sum_{(x,y) in mathcal{Z}} ilde{p}(x) p(y|x) f_{i}(x,y) - sum_{(x,y) in mathcal{Z}} ilde{p}(x,y)f_{i}(x,y) ight) \ & = sum_{i=1}^m lambda_i ilde{p}(x) f_i (x,y) end{aligned} end{equation}
上式中，$ ilde{p}(x), f_i(x,y), ilde{p}(x,y)$均为常数，此外，与H(y|x)的偏导类似，这里同样是得到一系列的偏导式子。
于是拉格朗日函数对p(y|x)的偏导为，
egin{equation} frac { partial L(p, vec lambda)} {partial p(y|x)} = - ilde{p}(x)(logp(y|x)+1)+sum_{i=1}^m lambda_i ilde{p}(x) f_i (x,y)+ lambda_{m+1} end{equation}
令其等于0，即
egin{equation} - ilde{p}(x)(logp(y|x)+1)+sum_{i=1}^m lambda_i ilde{p}(x) f_i (x,y)+ lambda_{m+1} = 0 end{equation}
求解上式，得
egin{equation} p(y|x) = exp left( sum_{i=1}^m lambda_i f_i (x,y) ight) exp(frac {lambda_{m+1}}{ ilde{p}(x)} - 1) end{equation}
由上面(19)式的第二个限制条件，概率分布的求和为1，所以对上式求和
$$ sum_{y in mathcal{Y}} exp left( sum_{i=1}^m lambda_i f_i (x,y) ight) exp(frac {lambda_{m+1}}{ ilde{p}(x)} - 1) = 1 $$
注意到上式第二个指数项与y无关，可以提到求和符号的左边，即
$$ exp(frac {lambda_{m+1}}{ ilde{p}(x)} - 1) sum_{y in mathcal{Y}} exp left( sum_{i=1}^m lambda_i f_i (x,y) ight) = 1$$
将上式代入(26)式，解得
$$ p(y|x) = exp left( sum_{i=1}^m lambda_i f_i (x,y) ight) frac 1 {sum_{y in mathcal{Y}} exp left( sum_{i=1}^m lambda_i f_i (x,y) ight)} $$
注意上式适用任何(x,y)。于是，满足限制条件的最大熵模型求解出来了，即(10)式的解，整理如下
egin{equation} p_{vec {lambda}}^* (y|x) = frac 1 {Z_{vec x}(x)} exp(sum_{i=1}^m lambda_i f_i (x,y)) end{equation}
其中
egin{equation} Z_{vec {lambda}}(x) = sum_{y in mathcal Y} exp(sum_{i=1}^m lambda_i f_i (x,y)) end{equation}
上面这个条件概率分布是一个对数线性模型。当然了上面式子中还存在参数$lambda_i$，要计算最终的条件概率分布，需要将上式代入拉格朗日函数，然后对$lambda_i$求极大值，具体是求偏导并令其等于0，求得$lambda_i$再代入上式解得最终的条件概率分布，具体可参考前面专门讲的最大熵模型。
虽然说本篇标题是条件随机场，但是为了引出条件随机场，又复习了一遍其他三个概率模型，这也是没办法，一切都是为了更好的理解透彻条件随机场，下一篇将讲述两种概率模型（生成模型和判别模型）的图表示。
ref
Classical Probabilistic Models and Conditional Random Fields