极大似然估计
上篇文章介绍了最大熵模型以及采用拉格朗日乘子法求解对偶问题，其模型的解如下，
egin{equation} P_{w}(y|x) = frac 1 {Z_{w}(x)} exp {left( sumlimits_{i=1}^n w_{i} f_{i}(x,y) ight)} end{equation}
egin{equation} Z_{w}(x,y) = sumlimits_{y} exp {left( sumlimits_{i=1}^n w_{i} f_{i}(x,y) ight)} end{equation}
然后代入拉格朗日函数得到对偶函数$Psi(w)$，
egin{equation} Psi(w) = L(P_{w},w) end{equation}
于是对w求$Psi(w)$的极大，解得 w 代入 (1)和(2)得到 $P_{w}(y|x)$。
本篇我们介绍最大熵模型的极大似然估计，并证明它与上述对偶函数的极大化是等价的。
首先计算$Psi(w)$，先给出拉格朗日函数
egin{aligned} L(P,w) & equiv -H(P)+w_{0}(1- sum_{y}P(y|x))+ sum_{i=1}^n w_{i}(E_{ ilde P}(f_i)-E_{P}(f_i)) \ & = {sum_{x,y} ilde{P} (x)P(y|x)logP(y|x)+w_{0}(1- sum_{y}P(y|x)) + sumlimits_{i=1}^n w_{i}(sum_{x,y} ilde{P}(x,y)f_{i}(x,y)-sum_{x,y} ilde{P}(x)P(y|x)f_{i}(x,y))} end{aligned}
于是
$$ Psi(w) = sumlimits_{x,y} ilde{P}(x)P_{w}(y|x)logP_{w}(y|x) + w_{0}(1-sum_{y}P(y|x)) + sumlimits_{i=1}^n w_{i}(sumlimits_{x,y} ilde{P}(x,y)f_{i}(x,y)-sumlimits_{x,y} ilde{P}(x)P_{w}(y|x)f_{i}(x,y)) $$
注意到有如下等式（具体参考上一篇文章）
$$sumlimits_{y}P(y|x)=frac{sumlimits_{y}exp{left(sumlimits_{i=1}^n w_{i} f_{i}(x,y) ight)}} {exp(1-w_0)}=1$$
化简$Psi(w)$的表达式，
egin{equation} egin{aligned} Psi(w) & = sumlimits_{x,y} ilde{P}(x)P_{w}(y|x)logP_{w}(y|x) + sumlimits_{i=1}^n w_{i}(sumlimits_{x,y} ilde{P}(x,y)f_{i}(x,y)-sumlimits_{x,y} ilde{P}(x)P_{w}(y|x)f_{i}(x,y)) \ & = sum_{x,y} ilde{P}(x,y)sum_{i=1}^nw_{i}f_{i}(x,y) +sum_{x,y} ilde{P}(x)P_{w}(y|x)left(logP_{w}(y|x) - sum_{i=1}^nw_{i}f_{i}(x,y) ight) \ & = sum_{x,y} ilde{P}(x,y)sum_{i=1}^nw_{i}f_{i}(x,y)-sum_{x,y} ilde{P}(x)P_{w}(y|x)logZ_{w}(x) \ & = sum_{x,y} ilde{P}(x,y)sum_{i=1}^nw_{i}f_{i}(x,y)-sum_{x} ilde{P}(x) log Z_{w}(x) end{aligned} end{equation}
其中$Z_{w}(x)$由(2)给出，这就是对偶函数的最终形式。
再看条件概率分布P(Y|X)的对数似然函数，给定训练数据集T，条件概率分布P(Y|X)的对数似然函数为
egin{equation} L(P) = logprod_{x,y}P(y|x)^{ ilde{P}(x,y)} = sum_{x,y} ilde{P}(x,y) log P(y|x) end{equation}
上式以指数形式引入$ ilde{P}(x,y)$似乎不那么容易理解，这里举个例子类比一下，假设X1,X2,...,Xn~Bernoulli(p)，概率密度函数为
$$f(x;p)=p^{x}(1-p)^{1-x}$$
其中x=0,1，未知参数p表示x=1的概率，于是似然函数为，
$$cal {L}_{n}(p) = prod_{i=1}^n f(X_i;p) = prod_{i=1}^n p^{X_i}(1-p)^{1-X_i} = p^{S}(1-p)^{n-S}$$
观察上式这个似然函数，发现本质是如下形式，
$$mathcal{L}_{n}(p) = prod_{i=1}^n p_{i}^{S_i}$$
其中$p_i$是$X_i$的概率，$S_i$是训练集中$X_i$出现次数，这两者的构成一个指数形式的项对应于$X_i$，然后将X所有取值对应的这些项连乘。
类比这里条件概率P(Y|X)的的似然函数，指数的底P(y|x)就是(x,y)构成的条件概率，将指数$ ilde{P}(x,y)$乘以训练数据集大小N这个常数，就是数据(x,y)出现的次数，于是(5)式就是(X,Y)的所有取值(x,y)构成的指数项连乘。
好了，既然理解了对数似然函数的构成，下面再对其进行求解，已知$P_{w}(y|x)$的解由(1)式给出，代入(5)式为，
egin{equation} egin{aligned} L( ilde{P}) & = sum_{x,y} ilde{P}(x,y) log P(y|x) \ & = sum_{x,y} ilde{P}(x,y) sum_{i=1}^n w_{i}f_{i}(x,y) - sum_{x,y} ilde{P}(x,y) log Z_{w}(x) \ & = sum_{x,y} ilde{P}(x,y) sum_{i=1}^n w_{i}f_{i}(x,y) - sum_{x} ilde{P}(x) log Z_{w}(x) end{aligned} end{equation}
发现与(4)式相同，也就是说，对偶函数等价于对数似然函数。