格雷码

本文转载自：https://oi-wiki.org/misc/gray-code/

格雷码是一个二进制数系，其中两个相邻数的二进制位只有一位不同。举个例子， (3) 位二进制数的格雷码序列为

[000,001,011,010,110,111,101,100 ]

注意序列的下标我们以 (0) 为起点，也就是说 (G(0)=000,G(4)=110) 。

格雷码由贝尔实验室的 Frank Gray 于 1940 年代提出，并于 1953 年获得专利。

构造格雷码（变换）

格雷码的构造方法很多。我们首先介绍手动构造方法，然后会给出构造的代码以及正确性证明。

手动构造

(k) 位的格雷码可以通过以下方法构造。我们从全 (0) 格雷码开始，按照下面策略：

翻转最低位得到下一个格雷码，（例如 (000 o 001) ）；
把最右边的 (1) 的左边的位翻转得到下一个格雷码，（例如 (001 o 011) ）；

交替按照上述策略生成 (2^k-1) 次，可得到 (k) 位的格雷码序列。

镜像构造

(k) 位的格雷码可以从 (k-1) 位的格雷码以上下镜射后加上新位的方式快速的得到，如下图：

[egin{matrix} k=1\ 0\ 1\\\\\\\ end{matrix} o egin{matrix}\ color{Red}0\color{Red}1\color{Blue}1\color{Blue}0\\\\\ end{matrix} o egin{matrix} k=2\ {color{Red}0}0\{color{Red}0}1\{color{Blue}1}1\{color{Blue}1}0\\\\\ end{matrix} o egin{matrix}\ color{Red}00\color{Red}01\color{Red}11\color{Red}10\color{Blue}10\color{Blue}11\color{Blue}01\color{Blue}00 end{matrix} o egin{matrix} k=3\ {color{Red}0}00\{color{Red}0}01\{color{Red}0}11\{color{Red}0}10\{color{Blue}1}10\{color{Blue}1}11\{color{Blue}1}01\{color{Blue}1}00 end{matrix} ]

计算方法

我们观察一下 (n) 的二进制和 (G(n)) 。可以发现，如果 (G(n)) 的二进制第 (i) 位为 (1) ，仅当 (n) 的二进制第 (i) 位为 (1) ，第 (i+1) 位为 (0) 或者第 (i) 位为 (0) ，第 (i+1) 位为 (1) 。于是我们可以当成一个异或的运算，即

[G(n)=noplus leftlfloorfrac{n}{2} ight floor ]

int g(int n) { return n ^ (n >> 1); }

正确性证明

接下来我们证明一下，按照上述公式生成的格雷码序列，相邻两个格雷码的二进制位有且近有一位不同。

我们考虑 (n) 和 (n+1) 的区别。把 (n) 加 (1) ，相当于把 (n) 的二进制下末位的连续的 (1) 全部变成取反，然后把最低位的 (0) 变成 (1) 。我们这样表示 (n) 和 (n+1) 的二进制位：

[egin{array}{rll} (n)_2&=&cdots0underbrace{11cdots11}_{k ext{个}}\ (n+1)_2&=&cdots1underbrace{00cdots00}_{k ext{个}} end{array} ]

于是我们在计算 (g(n)) 和 (g(n+1)) 的时侯，后 (k) 位都会变成 (displaystyleunderbrace{100cdots00}_{k ext{个}}) 的形式，而第 (k+1) 位是不同的，因为 (n) 和 (n+1) 除了后 (k+1) 位，其他位都是相同的。因此第 (k+1) 位要么同时异或 (1) ，要么同时异或 (0) 。两种情况，第 (k+1) 位都是不同的。而除了后 (k+1) 位以外的二进制位也是做相同的异或运算，结果是相同的。

证毕。

通过格雷码构造原数（逆变换）

接下来我们考虑格雷码的逆变换，即给你一个格雷码 (g) ，要求你找到原数 (n) 。我们考虑从二进制最高位遍历到最低位（最低位下标为 (1) ，即个位；最高位下标为 (k) ）。则 (n) 的二进制第 (i) 位与 (g) 的二进制第 (i) 位 (g_i) 的关系如下：

[egin{array}{rll} n_k &= g_k \ n_{k-1} &= g_{k-1} oplus n_k &= g_k oplus g_{k-1} \ n_{k-2} &= g_{k-2} oplus n_{k-1} &= g_k oplus g_{k-1} oplus g_{k-2} \ n_{k-3} &= g_{k-3} oplus n_{k-2} &= g_k oplus g_{k-1} oplus g_{k-2} oplus g_{k-3} \ &vdots\ n_{k-i} &=displaystyleigoplus_{j=0}^ig_{k-j} end{array} ]

int rev_g(int g) {
  int n = 0;
  for (; g; g >>= 1) n ^= g;
  return n;
}

实际应用

格雷码有一些十分有用的应用，有些应用让人意想不到：

(k) 位二进制数的格雷码序列可以当作 (k) 维空间中的一个超立方体（二维里的正方形，一维里的单位向量）顶点的哈密尔顿回路，其中格雷码的每一位代表一个维度的坐标。
格雷码被用于最小化数字模拟转换器（比如传感器）的信号传输中出现的错误，因为它每次只改变一个位。
格雷码可以用来解决汉诺塔的问题。

设盘的数量为 (n) 。我们从 (n) 位全 (0) 的格雷码 (G(0)) 开始，依次移向下一个格雷码（ (G(i)) 移向 (G(i+1)) ）。当前格雷码的二进制第 (i) 位表示从小到大第 (i) 个盘子。

由于每一次只有一个二进制位会改变，因此当第 (i) 位改变时，我们移动第 (i) 个盘子。在移动盘子的过程中，除了最小的盘子，其他任意一个盘子在移动的时侯，只能有一个放置选择。在移动第一个盘子的时侯，我们总是有两个放置选择。于是我们的策略如下：

如果 (n) 是一个奇数，那么盘子的移动路径为 (f o t o r o f o t o r ocdots) ，其中 (f) 是最开始的柱子， (t) 是最终我们把所有盘子放到的柱子， (r) 是中间的柱子。

如果 (n) 是偶数： (f o r o t o f o r o t o cdots)
格雷码也在遗传算法理论中得到应用。

习题

CSP S2 2019 D1T1 Difficulty: easy
SGU #249 Matrix Difficulty: medium

本页面部分内容译自博文 Код Грея 与其英文翻译版 Gray code 。其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link；英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0。