LCT做题笔记

　　最近几天打算认真复习LCT，毕竟以前只会板子。正好也可以学点新的用法，这里就用来写做题笔记吧。这个分类比较混乱，主要看感觉，不一定对；

维护森林的LCT

　　就是最普通，最一般那种的LCT啦。这类题目往往就是用LCT维护森林，从而快速的实现一些链上操作；其中，某些题只是维护一棵形态固定的树，用树剖也可以做，复杂度 $nlog^2n$，如果使用LCT则变成了 $nlog n$；有的题目涉及断边连边，就必须使用LCT了。这次复习做的前几道题都属于这种，这几道题的难点其实不在LCT上，只要会敲模板就OK了，可以稍微练习码力。正好这次就顺便把以前做过的题一起整理一下吧~一个可能会一时糊涂理解不了的地方：当我说“每个点记录某某信息时”，指的是维护Splay上的子树信息，但是由于Splay本质上是在维护树链，所以split一段路径后，splay的根节点记录的就是树链信息了。

[模板]Link Cut Tree

　　题意概述：断边加边，修改点权，询问路径异或和；

　　是一道小清新的模板题呢，只用到了一些基础的操作，没有区间修改这类稍微复杂的东西。

  1 # include <cstdio>
  2 # include <iostream>
  3 # include <cstring>
  4 # include <string>
  5 # define R register int
  6 # define getchar() (S==T&&(T=(S=BB)+fread(BB,1,1<<15,stdin),S==T)?EOF:*S++)
  7 
  8 using namespace std;
  9 
 10 const int maxn=300010;
 11 int n,m,opt,x,y;
 12 int v[maxn],ch[maxn][2],f[maxn],sta[maxn],Tp,s[maxn],rev[maxn];
 13 char BB[1 << 18], *S = BB, *T = BB; 
 14 
 15 int read()
 16 {
 17     R x=0;
 18     char c=getchar();
 19     while (!isdigit(c)) c=getchar();
 20     while (isdigit(c)) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
 21     return x;
 22 }
 23 
 24 bool rt (int x) { return (ch[ f[x] ][0]==x||ch[ f[x] ][1]==x); } //x是所在splay的根吗？
 25 void update (int x) { s[x]=v[x]^s[ ch[x][0] ]^s[ ch[x][1] ]; }
 26 void swp (int x) { rev[x]^=1; swap(ch[x][0],ch[x][1]); }
 27 void pushdown (int x) 
 28 { 
 29     if(rev[x]==0) return ; 
 30     if(ch[x][0]) swp(ch[x][0]);
 31     if(ch[x][1]) swp(ch[x][1]);
 32     rev[x]=0; 
 33 }
 34 
 35 void rotate (int x)
 36 {
 37     int fx=f[x],ff=f[fx],k=(ch[fx][1]==x),t=ch[x][k^1];
 38     if(rt(fx)) ch[ff][ ch[ff][1]==fx ]=x;
 39     ch[fx][k]=t,ch[x][k^1]=fx,f[fx]=x,f[x]=ff;
 40     if(t) f[t]=fx;
 41     update(fx);
 42 }
 43 
 44 void splay (int x) //把x转到自己所在splay的根上去
 45 {
 46     Tp=0,sta[++Tp]=x;
 47     int y=x;
 48     while(rt(y)) sta[++Tp]=(y=f[y]); 
 49     for (R i=Tp;i>=1;--i) pushdown(sta[i]);
 50     int fx,ff;
 51     while(rt(x))
 52     {
 53         fx=f[x],ff=f[fx];
 54         if(rt(fx)) rotate(((ch[fx][0]==x)!=(ch[ff][0]==fx))?x:fx);
 55         rotate(x);
 56     }
 57     update(x);
 58 }
 59 
 60 int ws (int x) { return (ch[ f[x] ][1]==x); } //x是父亲的哪个孩子？
 61 void access (int x) 
 62 {
 63      for (R y=0;x;y=x,x=f[x]) 
 64         splay(x),ch[x][1]=y,update(x); 
 65 }
 66 
 67 void change_root (int x) { access(x); splay(x); swp(x); }
 68 int find (int x)
 69 {
 70     access(x),splay(x);
 71     while(ch[x][0]) pushdown(x),x=ch[x][0];
 72     return x;
 73 }
 74 
 75 void link (int x,int y)
 76 {
 77     change_root(x);
 78     if(find(y)!=x) f[x]=y;
 79 }
 80 
 81 void cut (int x,int y)
 82 {
 83     change_root(x);
 84     if(find(y)!=x||f[x]!=y||ch[x][1]) return ;
 85     f[x]=ch[y][0]=0;
 86     update(y);
 87 }
 88 
 89 void split (int x,int y)
 90 {
 91     change_root(x);
 92     access(y),splay(y);
 93 }
 94 
 95 void write (int x)
 96 {
 97     if(x>=10) write(x/10);
 98     putchar(x%10+'0');
 99 }
100 
101 int main()
102 {
103     n=read(),m=read();
104     for (R i=1;i<=n;++i) v[i]=read();
105     for (R i=1;i<=m;++i)
106     {
107         opt=read(),x=read(),y=read();
108         if(opt==0) split(x,y),write(s[y]),putchar('
');
109         else if(opt==1) link(x,y);
110         else if(opt==2) cut(x,y);
111         else if(opt==3) splay(x),v[x]=y;
112     }
113     return 0;
114 }

Link Cut Tree

洞穴勘探

　　题意概述：断边加边，询问连通性；

　　这道题用到了findroot来判断连通性。不过这是2008年的题，那时候LCT还没有特别普及吧，不知道当年的标算是什么？

  1 # include <cstdio>
  2 # include <iostream>
  3 # include <cstring>
  4 # include <string>
  5 # define R register int
  6 
  7 using namespace std;
  8 
  9 const int maxn=10005;
 10 int n,m,x,y,F[maxn],ch[maxn][2],t[maxn],st[maxn],Tp;
 11 char c[10];
 12 
 13 inline bool isnt_rt (int x) { return ch[ F[x] ][0]==x||ch[ F[x] ][1]==x; }
 14 inline void rev (int x) { swap(ch[x][0],ch[x][1]); t[x]^=1; }
 15 inline void pushdown (int x) { if(t[x]) rev(ch[x][0]),rev(ch[x][1]),t[x]=0; }
 16 inline int D (int x) { return ch[ F[x] ][1]==x; }
 17 
 18 inline void rotate (int x)
 19 {
 20     int f=F[x],g=F[f],dx=D(x),df=D(F[x]);
 21     int k=ch[x][dx^1];
 22     if(isnt_rt(f)) ch[g][df]=x;
 23     ch[f][dx]=k;
 24     ch[x][dx^1]=f;
 25     if(k) F[k]=f;
 26     F[f]=x; F[x]=g;
 27 }
 28 
 29 inline void splay (int x)
 30 {
 31 //    printf("splay(%d)
",x);
 32     int t=x,f,g;
 33     st[++Tp]=t;
 34     while (isnt_rt(t)) st[++Tp]=F[t],t=F[t];
 35     while (Tp) pushdown(st[Tp]),Tp--;
 36     while (isnt_rt(x))
 37     {
 38         f=F[x],g=F[f];
 39         if(isnt_rt(f))
 40         {
 41             if(D(x)==D(f)) rotate(f);
 42             else rotate(x);
 43         }
 44         rotate(x);
 45     }
 46 }
 47 
 48 inline void access (int x) 
 49 {
 50 //    printf("access(%d)
",x);
 51     for (int y=0;x;y=x,x=F[x]) 
 52         splay(x),ch[x][1]=y;  
 53 }
 54 
 55 inline void makeroot (int x)  
 56 {
 57 //    printf("makeroot(%d)
",x);
 58     access(x);
 59     splay(x);
 60     rev(x);
 61 }
 62 
 63 inline int findroot (int x)
 64 {
 65 //    printf("findroot(%d)
",x);
 66     access(x),splay(x);
 67     while(ch[x][0]) pushdown(x),x=ch[x][0];
 68     splay(x);
 69     return x;
 70 }
 71 
 72 inline void link (int x,int y)
 73 {
 74 //  printf("link(%d %d)
",x,y);
 75     makeroot(x);
 76     if(findroot(y)!=x) F[x]=y;
 77     access(y);
 78 }
 79 
 80 inline void cut (int x,int y)
 81 {
 82 //  printf("cut(%d %d)
",x,y);
 83     makeroot(x);
 84     access(y);
 85     splay(y);
 86     F[x]=0,ch[y][0]=0;
 87 }
 88 
 89 int main()
 90 {
 91     scanf("%d%d",&n,&m);
 92     for (R i=1;i<=m;++i)
 93     {
 94         scanf("%s",c+1);
 95         scanf("%d%d",&x,&y);
 96         if (c[1]=='Q')
 97         {
 98             if(findroot(x)==findroot(y)) printf("Yes
");
 99             else printf("No
");
100         }
101         else if (c[1]=='C')
102             link(x,y);
103         else if (c[1]=='D') 
104             cut(x,y);
105     }
106     return 0;
107 }

洞穴勘测

Tree II

　　题意概述：需要支持路径乘，路径加，断边加边，询问路径和；$n<=10^5$

　　其实还是...比较简单的吧...就是在普通的LCT上打打标记（乘法，翻转，加法），维护一些信息（子树和，子树大小），稍微有点难写。不要忘了Splay时标记要从上往下放！一个小坑：模数虽小，乘法时也要开longlong。

  1 # include <cstdio>
  2 # include <iostream>
  3 # include <cstring>
  4 # include <string>
  5 # define R register int
  6 # define ll unsigned int
  7 
  8 using namespace std;
  9 
 10 const int maxn=100005;
 11 const int mod=51061;
 12 int n,q,x,y,db;
 13 int ch[maxn][2],f[maxn],r[maxn],st[maxn];
 14 ll da[maxn],dm[maxn],s[maxn],siz[maxn],v[maxn];
 15 char opt[10];
 16 
 17 int read()
 18 {
 19     R x=0;
 20     char c=getchar();
 21     while (!isdigit(c)) c=getchar();
 22     while (isdigit(c)) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
 23     return x;
 24 }
 25 
 26 bool isntroot (int x) { return ch[ f[x] ][0]==x||ch[ f[x] ][1]==x; }
 27 
 28 int D (int x) { return ch[ f[x] ][1]==x; }
 29 
 30 void update (int x)
 31 {
 32     int l=ch[x][0],r=ch[x][1];
 33     siz[x]=(siz[l]+siz[r]+1)%mod;
 34     s[x]=(s[l]+s[r]+v[x])%mod;
 35 }
 36 
 37 inline void turn (int x)
 38 {
 39     r[x]^=1;
 40     swap(ch[x][0],ch[x][1]);
 41 }
 42 
 43 inline void rev (int x)
 44 {
 45     r[x]=0;
 46     if(ch[x][0]) turn(ch[x][0]);
 47     if(ch[x][1]) turn(ch[x][1]);
 48 }
 49 
 50 inline void pushdown (int x)
 51 {
 52     if(dm[x]==1&&da[x]==0&&r[x]==0) return;
 53     if(r[x]) rev(x);
 54     int l=ch[x][0],r=ch[x][1];
 55     if(l)
 56     {
 57         v[l]=(v[l]*dm[x]+da[x])%mod;
 58         s[l]=(s[l]*dm[x]+siz[l]*da[x])%mod;
 59         dm[l]=dm[l]*dm[x]%mod;
 60         da[l]=(da[l]*dm[x]+da[x])%mod;
 61     }
 62     if(r)
 63     {
 64         v[r]=(v[r]*dm[x]+da[x])%mod;
 65         s[r]=(s[r]*dm[x]+siz[r]*da[x])%mod;
 66         dm[r]=dm[r]*dm[x]%mod;
 67         da[r]=(da[r]*dm[x]+da[x])%mod;
 68     }
 69     dm[x]=1; da[x]=0;
 70 }
 71 
 72 void rotate (int x)
 73 {
 74     if(db) printf("rotate(%d)
",x);
 75     int F=f[x],g=f[F],d=D(x),df=D(F);
 76     pushdown(F); pushdown(x);
 77     int k=ch[x][d^1];
 78     ch[F][d]=k;
 79     ch[x][d^1]=F;
 80     if(isntroot(F)) ch[g][df]=x;
 81     if(k)f[k]=F; f[F]=x; f[x]=g;
 82     update(F); update(x);
 83 }
 84 
 85 void splay (int x)
 86 {
 87     if(db) printf("splay(%d)
",x);
 88     int y=x,tp=0;
 89     st[++tp]=x;
 90     while(isntroot(y)) st[++tp]=f[y],y=f[y];
 91     while(tp) pushdown(st[tp]),tp--;
 92     while(isntroot(x))
 93     {
 94         int F=f[x],g=f[g];
 95         if(!isntroot(F)) rotate(x);
 96         else if(D(x)==D(F)) rotate(F),rotate(x);
 97         else rotate(x),rotate(x);
 98     }
 99 }
100 
101 void access (int x)
102 {
103     if(db) printf("access(%d)
",x);
104     int y=0;
105     while(x)
106     {
107         splay(x);
108         ch[x][1]=y;
109         update(x);
110         y=x; x=f[x];
111     }
112 }
113 
114 void make_root (int x)
115 {
116     if(db) printf("make_root(%d)
",x);
117     access(x);
118     splay(x);
119     turn(x);
120 }
121 
122 void spilt (int x,int y)
123 {
124     if(db) printf("spilt(%d,%d)
",x,y);
125     make_root(x);
126     access(y);
127     splay(y);
128 }
129 
130 void link (int x,int y)
131 {
132     if(db) printf("link(%d,%d)
",x,y);
133     make_root(x);
134     f[x]=y;
135 }
136 
137 void cut (int x,int y)
138 {
139     if(db) printf("cut(%d,%d)
",x,y);
140     spilt(x,y);
141     f[x]=0; ch[y][0]=0;
142     update(y);
143 }
144 
145 void mul (int x,int y,int c)
146 {
147     c%=mod;
148     spilt(x,y);
149     v[y]=v[y]*c%mod; s[y]=s[y]*c%mod;
150     da[y]=da[y]*c%mod; dm[y]=dm[y]*c%mod;
151 }
152 
153 void add (int x,int y,int c)
154 {
155     c%=mod;
156     spilt(x,y);
157     v[y]=(v[y]+c)%mod; s[y]=(s[y]+siz[y]*c)%mod;
158     da[y]=(da[y]+c)%mod;
159 }
160 
161 int main()
162 {
163     scanf("%d%d",&n,&q);
164     for (R i=1;i<=n;++i)
165         v[i]=siz[i]=s[i]=dm[i]=1;
166     for (R i=1;i<n;++i)
167     {
168         x=read(),y=read();
169         link(x,y);
170     }
171     for (R i=1;i<=q;++i)
172     {
173         int c;
174         scanf("%s",opt);
175         if(opt[0]=='+')
176         {
177             x=read(),y=read(),c=read();
178             add(x,y,c);
179         }
180         else if(opt[0]=='-')
181         {
182             x=read(),y=read();
183             cut(x,y);
184             x=read(),y=read();
185             link(x,y);
186         }
187         else if(opt[0]=='*')
188         {
189             x=read(),y=read(),c=read();
190             mul(x,y,c);
191         }
192         else if(opt[0]=='/')
193         {
194             x=read(),y=read();
195             spilt(x,y);
196             printf("%u
",s[y]);
197         }
198     }
199     return 0;
200 }

Tree II

弹飞绵羊

　　这道题概述题意后就没啥好做的啦。其实就是每个点向被弹到的点连边，构成一个森林结构，询问时就查一下这个点的深度，是不是很简单呢。

 1 # include <cstdio>
 2 # include <iostream>
 3 # define R register int
 4 
 5 using namespace std;
 6 
 7 const int maxn=200005;
 8 int n,m,t[maxn],opt,F[maxn],ch[maxn][2],siz[maxn],x,y;
 9 
10 inline int D (int x) { return ch[ F[x] ][1]==x; }
11 inline bool isnt_root (int x) { return ch[ F[x] ][0]==x||ch[ F[x] ][1]==x; }
12 inline void update (int x) { siz[x]=siz[ ch[x][0] ]+siz[ ch[x][1] ]+1; }
13 inline void rotate (int x)
14 {
15     int f=F[x],g=F[f],dx=D(x),df=D(f);
16     int k=ch[x][dx^1];
17     ch[f][dx]=k;
18     if(isnt_root(f)) ch[g][df]=x;
19     F[f]=x,F[k]=f;
20     ch[x][dx^1]=f;
21     F[x]=g;
22     update(f),update(x);
23 }
24 
25 inline void splay (int x)
26 {
27     while(isnt_root(x))
28     {
29         if(isnt_root(F[x]))
30             rotate((D(x)==D(F[x]))?F[x]:x); 
31         rotate(x);
32     }
33     update(x);
34 }
35 inline void access (int x) { for (int y=0;x;y=x,x=F[x]) splay(x),ch[x][1]=y,update(x); }
36 
37 inline int read ()
38 {
39     R x=0;
40     char c=getchar();
41     while (!isdigit(c)) c=getchar();
42     while (isdigit(c)) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
43     return x;
44 }
45 
46 int main()
47 {
48     scanf("%d",&n);
49     for (R i=1;i<=n;++i)
50     {
51         siz[i]=1;
52         x=read();
53         if(i+x<=n) F[i]=i+x;
54     }
55     scanf("%d",&m);
56     for (R i=1;i<=m;++i)
57     {
58         opt=read(),x=read();
59         x++;
60         if(opt==1)
61         {
62             access(x),splay(x);
63             printf("%d
",siz[x]);
64         }
65         else
66         {
67             scanf("%d",&y);
68             access(x),splay(x);
69             ch[x][0]=F[ ch[x][0] ]=0;
70             if(x+y<=n) F[x]=x+y;
71             update(x);
72         }
73     }
74     return 0;
75 }

弹飞绵羊

在美妙的数学王国中畅游

　　从这里开始难度开始加大了，然而似乎难度不在LCT上...

　　题意概述：给出一个动态加边删边的森林，每个点上有一个函数，是以下三种函数中的一种 $ax+b,sin(ax+b),e^{ax+b}$ ，$a,b$ 对于每个点不同。同时，也会有单点修改点上函数的操作；给出一些询问，询问对于某个 $x$ ，将它分别带入 $u$ 到 $v$ 的路径上所有函数所得函数值的和。

　　乍一看这道题很难，其实也确实不算简单。动态加边删边，明示LCT，现在的问题就是怎样快速的计算这些函数；经过观察，可以发现形如 $ax+b$ 的函数显然是很好合并的，这就启示我们把所有函数都变成多项式，因为多项式相加是可以把值相加的。往下翻题面，发现他给出了一个泰勒展开的式子，这证实了上面的猜想：对每个函数进行泰勒展开，用多项式来近似求这些函数值的和。由于多项式是可以合并的，这道题也就迎刃而解了；

　　在这里，我先把泰勒展开的式子写出来：

　　$ m sum_{i=0}^nfrac{f^{(i)}(x_0)(x-x_0)^i}{i!}$

　　显然，$ax+b$就不用泰勒展开了...$e^x,sin(x)$求导不算特别简单，但是基本上知道求导的同学也都知道这些公式吧...

　　$ m (sin(x))'=cos(x),(cos(x))'=-sin(x)$ $ m(e^x)'=e^x$

　　那么，$x_0$ 取多少比较合适呢？当然是0啦~，取0多方便啊，首先,$ax+b=b$ 这一点就方便很多，$ax+b-ax_0-b=ax$就更妙了，把 $a^i$ 直接乘进系数里，就可以得到关于 $x$ 的多项式啦；因为分母增长很快，而分子缩小得也很快，所以取前15项就可以完成要求咯。

　　代码戳这里

三叉神经树

　　这题挺妙的，要稍微观察一下性质；

　　首先，改变一个输入，可能会被影响的只有从它到根这条路径上的点；如果路径上的某个点没有被影响，那么从它往上就更不会被影响了；再次观察，可以发现，一个输入从0->1，只会将从这里往上连续的一串1变成2，再往上一个数+1，其它的都不变；1->0，只会将从这里往上连续的一串2变成1，再往上一个数-1，其它的都不变；所以说，我们只需要在LCT的每个点上维护从这个点到根的路径上深度最小的非1点位置和非2点位置。区间+1/-1后，所有不是1的都变得不是2了，所有不是2的都变得不是1了，所以只需要交换这两个信息就可以维护了。这道题重在观察，只要这些性质都能看出来，写代码反而变得挺简单了。

  1 # include <cstdio>
  2 # include <iostream>
  3 # include <queue>
  4 # define R register int
  5 
  6 using namespace std;
  7 
  8 const int N=500005;
  9 int n,q,x,x1,x2,x3;
 10 int lk[N*3],tf[N],d[N];
 11 int ch[N][2],f[N],sta[N];
 12 int s[3][N],a[N*3];
 13 int v[N],delta[N],rev[N];
 14 
 15 int read()
 16 {
 17     int x=0;
 18     char c=getchar();
 19     while (!isdigit(c)) c=getchar();
 20     while (isdigit(c)) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
 21     return x;
 22 }
 23 
 24 void update (int x)
 25 {
 26     for (R i=1;i<=2;++i)
 27     {
 28         s[i][x]=s[i][ ch[x][1] ];
 29         if(s[i][x]==0&&v[x]!=i) s[i][x]=x;
 30         if(s[i][x]==0) s[i][x]=s[i][ ch[x][0] ];
 31     }
 32 }
 33 
 34 void add (int x,int opt)
 35 {
 36     delta[x]+=opt; v[x]+=opt;
 37     swap(s[1][x],s[2][x]);
 38 }
 39 
 40 void pushdown (int x)
 41 {
 42     if(rev[x])
 43     {
 44         rev[x]=0;
 45         swap(ch[x][0],ch[x][1]);
 46         if(ch[x][0]) rev[ ch[x][0] ]^=1;
 47         if(ch[x][1]) rev[ ch[x][1] ]^=1;
 48     }
 49     if(delta[x])
 50     {
 51         int t=delta[x];
 52         if(ch[x][0]) add(ch[x][0],t);
 53         if(ch[x][1]) add(ch[x][1],t);
 54         delta[x]=0;
 55     }
 56 }
 57 
 58 bool isntroot (int x) { return (ch[ f[x] ][0]==x||ch[ f[x] ][1]==x); }
 59 
 60 int D (int x) { return ch[ f[x] ][1]==x; }
 61 
 62 void rotate (int x)
 63 {
 64     int F=f[x],g=f[F];
 65     int dx=D(x),df=D(F);
 66     int k=ch[x][dx^1];
 67     ch[F][dx]=k;
 68     ch[x][dx^1]=F;
 69     if(ch[g][df]==F) ch[g][df]=x;
 70     if(k) f[k]=F; f[F]=x; f[x]=g;
 71     update(F);
 72     update(x);
 73 }
 74 
 75 void splay (int x)
 76 {
 77     int y=x,tp=0; sta[++tp]=x;
 78     while(isntroot(y)) sta[++tp]=f[y],y=f[y];
 79     for (R i=tp;i>=1;--i) pushdown(sta[i]);
 80     while(isntroot(x))
 81     {
 82         int t=f[x];
 83         if(!isntroot(t)) rotate(x);
 84         else if(D(t)==D(x)) rotate(t),rotate(x);
 85         else rotate(x),rotate(x);
 86     }
 87 }
 88 
 89 void access (int x)
 90 {
 91     int y=0;
 92     while(1)
 93     {
 94         splay(x);
 95         ch[x][1]=y;
 96         update(x);
 97         y=x; x=f[x];
 98         if(!x) return;
 99     }
100 }
101 
102 void makeroot (int x)
103 {
104     access(x); splay(x);
105     rev[x]^=1;
106 }
107 
108 void link (int x,int y) { makeroot(x); f[x]=y; }
109 
110 void split (int x,int y) 
111 {
112     makeroot(x);
113     access(y);
114     splay(y);
115 }
116 
117 void topu()
118 {
119     queue<int> q;
120     for (R i=1;i<=n;++i)
121         if(d[i]==0) q.push(i);
122     int beg;
123     while(q.size())
124     {
125         beg=q.front(); q.pop();
126         if(beg==1) return;
127         v[ tf[beg] ]+=(v[beg]>=2);
128         d[ tf[beg] ]--;
129         if(d[ tf[beg] ]==0) q.push(tf[ beg ]);
130     }
131 }
132 
133 int main()
134 {
135     n=read();
136     for (R i=1;i<=n;++i)
137     {
138         x1=read(); x2=read(); x3=read(); d[i]=3;
139         if(x1<=n) tf[x1]=i; else lk[x1-n]=i;
140         if(x2<=n) tf[x2]=i; else lk[x2-n]=i;
141         if(x3<=n) tf[x3]=i; else lk[x3-n]=i;
142     }
143     for (R i=1;i<=2*n+1;++i)
144     {
145         a[i]=read();
146         v[ lk[i] ]+=a[i];
147         d[ lk[i] ]--;
148     }
149     topu();
150     for (R i=1;i<=n;++i)
151     {
152         if(v[i]!=1) s[1][i]=i;
153         if(v[i]!=2) s[2][i]=i;
154     }
155     for (R i=2;i<=n;++i)
156         link(i,tf[i]);
157     q=read();
158     for (R i=1;i<=q;++i)
159     {
160         x=read(); x-=n; a[x]^=1;
161         if(!a[x])
162         {
163             x=lk[x]; split(1,x);
164             if(!s[2][x])
165             {
166                 splay(x);
167                 add(x,-1);
168             }
169             else
170             {
171                 x=s[2][x]; splay(x);
172                 if(ch[x][1]) add(ch[x][1],-1);
173                 v[x]--; update(x);
174             }
175         }
176         else
177         {
178             x=lk[x]; split(1,x);
179             if(!s[1][x])
180             {
181                 splay(x);
182                 add(x,1);
183             }
184             else
185             {
186                 x=s[1][x]; splay(x);
187                 if(ch[x][1]) add(ch[x][1],1);
188                 v[x]++; update(x);
189             }
190         }
191         access(1); splay(1);
192         if(v[1]<=1) printf("0
");
193         else printf("1
");    
194     }
195     return 0;
196 }

三叉神经树

由乃的OJ

　　起床困难综合症上树。这就是一道典型的树剖也可做，只是LCT少一个log的那种题（其实三叉神经树也是）。

　　起床困难综合症有两种做法，一种是按位贪心，对于每一位跑一遍所有门判断答案；另一种比较技巧，是把111..11,000...00放进去跑一遍，反正每一位是独立的，这样就得到了答案；显然，这道题多组询问，要是对于每一位跑一遍就太太太太太慢了，我们采用第二种方案。LCT上每个点维护111...11,000...00跑一遍后得到的结果，然后用一样的方法按位贪心就好啦！然而，换根的时候，链要进行反转，这些信息不就废了吗？所以，不仅要记录正着跑一遍的信息，也要记录反着跑一遍的信息。这个信息怎么合并呢？假设左儿子+$x$本身跑完后得到的结果是110001001，设为 $a$，那么对于11___1__1这几位，就要取右边全1得到的答案，对于__000_00_，就要取右边全0得到的答案，即$f(x)=(~a&f_1(r)~)|(~(!a)&f_0(r)~)$。这里要格外注意左右儿子的顺序问题，在update的时候，必须保证两个儿子的信息是对的。这很好处理，只要在update以前先pushdown两个儿子就好了。这题在luogu上比较容易通过，但是在bzoj上几乎是必TLE，据说树剖反而可以通过，但是我懒得再写一遍了(毕竟我是在练习LCT)，所以还是放一份LCT的代码吧。

  1 # include <cstdio>
  2 # include <iostream>
  3 # define R register int
  4 # define ULL unsigned long long
  5 # define getchar() (S==T&&(T=(S=BB)+fread(BB,1,1<<20,stdin),S==T)?EOF:*S++)
  6 char BB[1 << 20], *S = BB, *T = BB; 
  7   
  8 using namespace std;
  9 
 10 const int N=100005;
 11 int n,m,k,x,y;
 12 int opt[N],f[N],ch[N][2],rev[N],sta[N];
 13 ULL q,t,v[N],f1[N],f2[N],f3[N],f4[N];
 14 
 15 void pushdown (int x)
 16 {
 17     if(!rev[x]) return ;
 18     rev[x]=0; swap(ch[x][0],ch[x][1]);
 19     if(ch[x][0]) rev[ ch[x][0] ]^=1;
 20     if(ch[x][1]) rev[ ch[x][1] ]^=1;
 21     swap(f1[x],f3[x]); swap(f2[x],f4[x]);
 22 }
 23 
 24 void update (int x)
 25 {
 26     if(ch[x][0]) pushdown(ch[x][0]);
 27     if(ch[x][1]) pushdown(ch[x][1]);
 28     int l=ch[x][0],r=ch[x][1];
 29     if(opt[x]==1)
 30     {
 31         f1[x]=f1[l]&v[x]; f1[x]=(f1[x]&f1[r])|((~f1[x])&f2[r]);
 32         f2[x]=f2[l]&v[x]; f2[x]=(f2[x]&f1[r])|((~f2[x])&f2[r]);
 33         f3[x]=f3[r]&v[x]; f3[x]=(f3[x]&f3[l])|((~f3[x])&f4[l]);
 34         f4[x]=f4[r]&v[x]; f4[x]=(f4[x]&f3[l])|((~f4[x])&f4[l]);
 35     }
 36     else if(opt[x]==2)
 37     {
 38         f1[x]=f1[l]|v[x]; f1[x]=(f1[x]&f1[r])|((~f1[x])&f2[r]);
 39         f2[x]=f2[l]|v[x]; f2[x]=(f2[x]&f1[r])|((~f2[x])&f2[r]);
 40         f3[x]=f3[r]|v[x]; f3[x]=(f3[x]&f3[l])|((~f3[x])&f4[l]);
 41         f4[x]=f4[r]|v[x]; f4[x]=(f4[x]&f3[l])|((~f4[x])&f4[l]);
 42     }
 43     else
 44     {
 45         f1[x]=f1[l]^v[x]; f1[x]=(f1[x]&f1[r])|((~f1[x])&f2[r]);
 46         f2[x]=f2[l]^v[x]; f2[x]=(f2[x]&f1[r])|((~f2[x])&f2[r]);
 47         f3[x]=f3[r]^v[x]; f3[x]=(f3[x]&f3[l])|((~f3[x])&f4[l]);
 48         f4[x]=f4[r]^v[x]; f4[x]=(f4[x]&f3[l])|((~f4[x])&f4[l]);
 49     } 
 50 }
 51 
 52 inline bool isntroot (int x) { return (ch[ f[x] ][0]==x||ch[ f[x] ][1]==x); }
 53 
 54 inline int D (int x) { return ch[ f[x] ][1]==x; }
 55 
 56 inline void rotate (int x)
 57 {
 58     int F=f[x],g=f[F];
 59     int dx=D(x),df=D(F);
 60     int k=ch[x][dx^1];
 61     ch[F][dx]=k; ch[x][dx^1]=F;
 62     if(ch[g][df]==F) ch[g][df]=x;
 63     if(k) f[k]=F; f[F]=x; f[x]=g;
 64     update(F); update(x);
 65 }
 66 
 67 inline void splay (int x)
 68 {
 69     int y=x,tp=0; sta[++tp]=x;
 70     while(isntroot(y)) sta[++tp]=f[y],y=f[y];
 71     for (R i=tp;i>=1;--i) pushdown(sta[i]);
 72     while(isntroot(x))
 73     {
 74         int t=f[x];
 75         if(!isntroot(t)) rotate(x);
 76         else if(D(t)==D(x)) rotate(t),rotate(x);
 77         else rotate(x),rotate(x);
 78     }
 79 }
 80 
 81 inline ULL solve (int x,ULL v)
 82 {
 83     ULL ans=0,s=0;
 84     for (R i=k-1;i>=0;--i)
 85     {
 86         ULL ans1=(1ull<<i)&f1[x],ans2=(1ull<<i)&f2[x];
 87         if(s+(1ull<<i)>v) { ans+=ans2; continue; }
 88         if(ans1>ans2) ans+=ans1,s+=(1ull<<i);
 89         else ans+=ans2;
 90     }
 91     return ans;
 92 }
 93 
 94 void access (int x)
 95 {
 96     int y=0;
 97     while(1)
 98     {
 99         splay(x); ch[x][1]=y;
100         update(x);
101         y=x; x=f[x];
102         if(!x) return;
103     }
104 }
105 
106 void makeroot (int x) { access(x); splay(x); rev[x]^=1; }
107 
108 void split (int x,int y) { makeroot(x); access(y); splay(x); }
109 
110 void link (int x,int y) { makeroot(x); f[x]=y; }
111 
112 int read1()
113 {
114     int x=0;
115     char c=getchar();
116     while (!isdigit(c)) c=getchar();
117     while (isdigit(c)) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
118     return x;
119 }
120 
121 ULL read2()
122 {
123     ULL x=0;
124     char c=getchar();
125     while (!isdigit(c)) c=getchar();
126     while (isdigit(c)) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
127     return x;
128 }
129 
130 int firs[N],h,dep[N];
131 struct edge { int too,nex; }g[N<<1];
132 
133 void add (int x,int y)
134 {
135     g[++h].nex=firs[x];
136     firs[x]=h;
137     g[h].too=y;    
138 }
139 
140 void dfs (int x)
141 {
142     int j;
143     for (R i=firs[x];i;i=g[i].nex)
144     {
145         j=g[i].too;
146         if(dep[j]) continue;
147         dep[j]=1; f[j]=x;
148         dfs(j);
149     }
150 }
151 
152 int main()
153 {
154     n=read1(); m=read1(); k=read1();
155     for (R i=1;i<=n;++i)
156         opt[i]=read1(),v[i]=read2();
157     for (R i=0;i<k;++i) q+=(1ull<<i);
158     f1[0]=q; f3[0]=q;
159     for (R i=1;i<=n;++i)
160     {
161         if(opt[i]==1) f1[i]=q&v[i],f2[i]=0,f3[i]=q&v[i],f4[i]=0;
162         else if(opt[i]==2) f1[i]=q,f2[i]=v[i],f3[i]=q,f4[i]=v[i];
163         else f1[i]=q^v[i],f2[i]=v[i],f3[i]=q^v[i],f4[i]=v[i];
164     }
165     for (R i=2;i<=n;++i)
166     {
167         x=read1(); y=read1();
168         add(x,y); add(y,x);
169     }
170     dep[1]=1; dfs(1);
171     for (R i=1;i<=m;++i)
172     {
173         int o;
174         o=read1(); x=read1(); y=read1(); t=read2(); 
175         if(o==1)
176         {
177             split(x,y);
178             printf("%llu
",solve(x,t));
179         }
180         else
181         {
182             access(x); splay(x);
183             opt[x]=y; v[x]=t;
184             update(x);
185         }
186     }
187     return 0;
188 }

由乃的OJ

维护生成树的LCT

　　大多数维护生成树的题首先都是以维护边权为基础的。LCT还可以维护边权嘛？化边为点就好啦。要么支持加边，要么支持删边（时间倒流），总之不能两者都支持，因为删边时可能会引起一系列以前加边时删掉的边重新被选中，那就根本没法做了。

魔法森林

　　题意概述：一张无向图中，每条边有两个属性$(a,b)$，要求找到一条 $1$ 到 $n$ 的路径，使得 $max(a)+max(b)$ 最小；$n<=50000,m<=100000$；

　　看上去有点难？两个参数互相影响，怎么处理才好呢？对于这种题目，我们常常采用固定一维信息的方法；

　　考虑枚举 $max(a)$，将 $leq max(a)$ 的边加进去，求一个关于 $b$ 的最小生成树，就可以得到答案了。这样的复杂度是 $m^2log m$ 的，过于不科学；

　　显然，随着枚举的那个 $max(a)$ 的增加，能用来构建最小生成树的边是越来越多的，也就是说...只有加边，没有删边？明示LCT维护关于b的最小生成树，这道题就做完了；

　　一点小细节：LCT的点数应为n+m，真·点的点权设为-inf，以防止被错误的当成路径最大值删掉。

  1 # include <cstdio>
  2 # include <iostream>
  3 # include <algorithm>
  4 # define R register int
  5 
  6 using namespace std;
  7 
  8 const int M=200005;
  9 const int inf=1000000000;
 10 int n,m,f[M],ch[M][2],rev[M],v[M],id[M],sta[M],s[M];
 11 struct edge { int x,y,a,b; }e[M];
 12 
 13 bool cmp (edge a,edge b) { return a.a<b.a; }
 14 
 15 void update (int x)
 16 {
 17     v[x]=s[x]; id[x]=x;
 18     if(v[ ch[x][0] ]>v[x]) v[x]=v[ ch[x][0] ],id[x]=id[ ch[x][0] ];
 19     if(v[ ch[x][1] ]>v[x]) v[x]=v[ ch[x][1] ],id[x]=id[ ch[x][1] ];
 20 }
 21 
 22 bool isntroot (int x) { return (ch[ f[x] ][0]==x||ch[ f[x] ][1]==x); }
 23 
 24 int D (int x) { return (ch[ f[x] ][1]==x); }
 25 
 26 void rotate (int x)
 27 {
 28     int F=f[x],g=f[F];
 29     int dx=D(x),df=D(F);
 30     int k=ch[x][dx^1];
 31     ch[F][dx]=k; ch[x][dx^1]=F;
 32     if(ch[g][df]==F) ch[g][df]=x;
 33     if(k) f[k]=F; f[F]=x; f[x]=g;
 34     update(F); update(x);
 35 }
 36 
 37 void pushdown (int x)
 38 {
 39     if(!rev[x]) return;
 40     rev[x]=0; swap(ch[x][0],ch[x][1]);
 41     if(ch[x][0]) rev[ ch[x][0] ]^=1;
 42     if(ch[x][1]) rev[ ch[x][1] ]^=1;
 43 }
 44 
 45 void splay (int x)
 46 {
 47     int y=x,tp=0; sta[++tp]=x;
 48     while(isntroot(y)) sta[++tp]=f[y],y=f[y];
 49     for (R i=tp;i>=1;--i) pushdown(sta[i]);
 50     while(isntroot(x))
 51     {
 52         int t=f[x];
 53         if(!isntroot(t)) rotate(x);
 54         else if(D(t)==D(x)) rotate(t),rotate(x);
 55         else rotate(x),rotate(x);
 56     }
 57 }
 58 
 59 void access (int x)
 60 {
 61     int y=0;
 62     while(1)
 63     {
 64         splay(x); ch[x][1]=y;
 65         update(x);
 66         y=x; x=f[x];
 67         if(!x) return;
 68     }
 69 }
 70 
 71 void makeroot (int x)
 72 {
 73     access(x); splay(x);
 74     rev[x]^=1;
 75 }
 76 
 77 void split (int x,int y) { makeroot(x); access(y); splay(y); }
 78 
 79 void link (int x,int y) { makeroot(x); f[x]=y; }
 80 
 81 void cut (int x,int y)
 82 {
 83     split(x,y);
 84     ch[y][0]=f[x]=0;
 85     update(y);
 86 }
 87 
 88 int findroot (int x)
 89 {
 90     access(x); splay(x); pushdown(x);
 91     while(ch[x][0]) x=ch[x][0],pushdown(x);
 92     splay(x);
 93     return x;
 94 }
 95 
 96 int main()
 97 {
 98     scanf("%d%d",&n,&m);
 99     for (R i=1;i<=m;++i)
100         scanf("%d%d%d%d",&e[i].x,&e[i].y,&e[i].a,&e[i].b);
101     sort(e+1,e+1+m,cmp);
102     int ans=inf;
103     for (R i=1;i<=n;++i) v[i]=-inf,id[i]=i,s[i]=-inf;
104     for (R i=1;i<=m;++i) v[i+n]=e[i].b,id[i+n]=i+n,s[i+n]=e[i].b;
105     for (R i=1;i<=m;++i)
106     {
107         int x=e[i].x,y=e[i].y;
108         if(findroot(x)==findroot(y))
109         {
110             split(x,y);
111             if(v[y]>e[i].b) 
112             {
113                 int t=id[y];
114                 cut(t,e[ t-n ].x),cut(t,e[ t-n ].y),link(x,i+n),link(i+n,y);
115             }
116         }else link(x,i+n),link(i+n,y);
117         if(findroot(1)==findroot(n))
118         {
119             split(1,n);
120             ans=min(ans,e[i].a+v[n]);
121         }
122     }
123     if(ans==inf) printf("-1");
124     else printf("%d",ans);
125     return 0;
126 }

魔法森林

水管局长

　　这道题就是删边啦，把它倒过来，转变为加边就好了；这里有一个小细节（指bzoj加强版）：整个过程中删去的边并不多，所以最后留下的边很多，用LCT来处理这部分很容易就TLE了。那怎么办呢？Kruscal求最小生成树，求完后再用LCT把它建出来就好啦！虽然LCT的理论复杂度是 $nlog n$，但实际上1e6跑起来就很费劲了，所以，还是多想想有没有哪些部分是可以优化的吧。

  1 # include <cstdio>
  2 # include <iostream>
  3 # include <map>
  4 # include <algorithm>
  5 # define R register int
  6 # define getchar() (S==T&&(T=(S=BB)+fread(BB,1,1<<20,stdin),S==T)?EOF:*S++)
  7 char BB[1 << 20], *S = BB, *T = BB; 
  8 
  9 using namespace std;
 10 
 11 const int N=1200006;
 12 const int Q=100005;
 13 const int inf=1000000000;
 14 int n,m,q,x[N],y[N],t[N],vis[N],opt[Q],a[Q],b[Q];
 15 int f[N],ch[N][2],s[N],v[N],id[N],rev[N],sta[N];
 16 int ans[Q];
 17 map < pair<int,int>,int > M;
 18 
 19 void update (int x)
 20 {
 21     v[x]=s[x]; id[x]=x;
 22     if(v[ ch[x][0] ]>v[x]) v[x]=v[ ch[x][0] ],id[x]=id[ ch[x][0] ];
 23     if(v[ ch[x][1] ]>v[x]) v[x]=v[ ch[x][1] ],id[x]=id[ ch[x][1] ];
 24 }
 25 
 26 bool isntroot (int x) { return (ch[ f[x] ][0]==x||ch[ f[x] ][1]==x); }
 27 
 28 int D (int x) { return (ch[ f[x] ][1]==x); }
 29 
 30 void rotate (int x)
 31 {
 32     int F=f[x],g=f[F];
 33     int dx=D(x),df=D(F);
 34     int k=ch[x][dx^1];
 35     ch[F][dx]=k; ch[x][dx^1]=F;
 36     if(ch[g][df]==F) ch[g][df]=x;
 37     if(k) f[k]=F; f[F]=x; f[x]=g;
 38     update(F); update(x);
 39 }
 40 
 41 void pushdown (int x)
 42 {
 43     if(!rev[x]) return;
 44     rev[x]=0; swap(ch[x][0],ch[x][1]);
 45     if(ch[x][0]) rev[ ch[x][0] ]^=1;
 46     if(ch[x][1]) rev[ ch[x][1] ]^=1;
 47 }
 48 
 49 void splay (int x)
 50 {
 51     int y=x,tp=0; sta[++tp]=x;
 52     while(isntroot(y)) sta[++tp]=f[y],y=f[y];
 53     for (R i=tp;i>=1;--i) pushdown(sta[i]);
 54     while(isntroot(x))
 55     {
 56         int t=f[x];
 57         if(!isntroot(t)) rotate(x);
 58         else if(D(t)==D(x)) rotate(t),rotate(x);
 59         else rotate(x),rotate(x);
 60     }
 61 }
 62 
 63 void access (int x)
 64 {
 65     int y=0;
 66     while(1)
 67     {
 68         splay(x); ch[x][1]=y;
 69         update(x);
 70         y=x; x=f[x];
 71         if(!x) return;
 72     }
 73 }
 74 
 75 void makeroot (int x)
 76 {
 77     access(x); splay(x);
 78     rev[x]^=1;
 79 }
 80 
 81 void split (int x,int y) { makeroot(x); access(y); splay(y); }
 82 
 83 void link (int x,int y) { makeroot(x); f[x]=y; }
 84 
 85 void cut (int x,int y)
 86 {
 87     split(x,y);
 88     ch[y][0]=f[x]=0;
 89     update(y);
 90 }
 91 
 92 int findroot (int x)
 93 {
 94     access(x); splay(x); pushdown(x);
 95     while(ch[x][0]) x=ch[x][0],pushdown(x);
 96     splay(x);
 97     return x;
 98 }
 99 
100 void ins (int i)
101 {
102     split(x[i],y[i]);
103        if(v[ y[i] ]<=t[i]) return;
104     int pos=id[ y[i] ];
105     cut(pos,x[pos-n]); cut(pos,y[pos-n]);
106     link(i+n,x[i]); link(i+n,y[i]);
107 }
108 
109 int read()
110 {
111     int x=0;
112     char c=getchar();
113     while (!isdigit(c)) c=getchar();
114     while (isdigit(c)) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
115     return x;
116 }
117 
118 struct edge { int x,y,z,id; }e[N];
119 int tf[N],eh;
120 
121 int fa (int x)
122 {
123     if(tf[x]==x) return x;
124     return tf[x]=fa(tf[x]);
125 }
126 
127 bool cmp (edge a,edge b) { return a.z<b.z; }
128 
129 void kruscal()
130 {
131     for (R i=1;i<=n+m;++i) tf[i]=i;
132     sort(e+1,e+1+eh,cmp);
133     for (R i=1;i<=eh;++i)
134     {
135         int x=e[i].x,y=e[i].y;
136         x=fa(x); y=fa(y);
137         if(x==y) continue;
138         tf[x]=y; 
139         link(e[i].id+n,e[i].x);
140         link(e[i].id+n,e[i].y);
141     }
142 }
143 
144 int main()
145 {
146     n=read(),m=read(),q=read();
147     v[0]=s[0]=-inf;
148     for (R i=1;i<=n;++i) 
149         v[i]=-inf,s[i]=-inf,id[i]=i;
150     for (R i=1;i<=m;++i)
151     {
152         x[i]=read(); y[i]=read(); t[i]=read();
153         v[i+n]=t[i]; s[i+n]=t[i]; id[i+n]=i+n;
154         if(x[i]>y[i]) swap(x[i],y[i]);
155         M[ make_pair(x[i],y[i]) ]=i;
156     }
157     for (R i=1;i<=q;++i)
158     {
159         opt[i]=read(); a[i]=read(); b[i]=read();
160         if(a[i]>b[i]) swap(a[i],b[i]);
161         if(opt[i]==1) continue;
162         vis[ M[ make_pair(a[i],b[i]) ] ]=1;
163     }
164     for (R i=1;i<=m;++i)
165         if(!vis[i])
166         {
167             eh++;
168             e[eh].x=x[i]; e[eh].y=y[i]; e[eh].z=t[i];
169             e[eh].id=i;
170           }
171     kruscal();
172     for (R i=q;i>=1;--i)
173     {
174         if(opt[i]==1)
175         {
176             split(a[i],b[i]);
177             ans[i]=v[ b[i] ];
178         }
179         else
180             ins(M[ make_pair(a[i],b[i]) ]);
181     }
182     for (R i=1;i<=q;++i)
183         if(opt[i]==1) printf("%d
",ans[i]);
184     return 0;
185 }

水管局长

最小差值生成树

　　好了好了，我知道我很水，几乎一样的题做三遍，但是这回我是用虚拟机里的emacs写的这道题，所以也有一定意义啦~

　　没什么好说的，枚举最大值，成环的时候删最小值就好了。

　　一点小细节：如何求当前LCT中最小边的编号？开一个桶，记录每条边是否存在，因为随着边的增加，最小边的编号单调不减，可以用一个指针维护；

  1 # include <cstdio>
  2 # include <iostream>
  3 # include <algorithm>
  4 # define R register int
  5 
  6 using namespace std;
  7 
  8 const int N=300005;
  9 const int inf=1000000000;
 10 int n,m,it[N],ed;
 11 int f[N],ch[N][2],v[N],s[N],id[N],rev[N],tf[N];
 12 int sta[N];
 13 struct edge { int x,y,z; }e[N];
 14 
 15 bool isntroot (int x) { return (ch[ f[x] ][0]==x||ch[ f[x] ][1]==x); }
 16 
 17 int D (int x) { return ch[ f[x] ][1]==x; }
 18 
 19 void update (int x)
 20 {
 21     id[x]=x; s[x]=v[x];
 22     if(s[ ch[x][0] ]<s[x])
 23         s[x]=s[ ch[x][0] ],id[x]=id[ ch[x][0] ];
 24     if(s[ ch[x][1] ]<s[x])
 25         s[x]=s[ ch[x][1] ],id[x]=id[ ch[x][1] ];
 26 }
 27 
 28 void pushdown (int x)
 29 {
 30     if(!rev[x]) return; rev[x]=0;
 31     if(ch[x][0]) rev[ ch[x][0] ]^=1;
 32     if(ch[x][1]) rev[ ch[x][1] ]^=1;
 33     swap(ch[x][0],ch[x][1]);
 34 }
 35 
 36 void rotate (int x)
 37 {
 38     int F=f[x],g=f[F];
 39     int dx=D(x),df=D(F);
 40     int k=ch[x][dx^1];
 41     ch[x][dx^1]=F; ch[F][dx]=k;
 42     if(ch[g][df]==F) ch[g][df]=x;
 43     if(k) f[k]=F; f[F]=x; f[x]=g;
 44     update(F); update(x);
 45 }
 46 
 47 void splay (int x)
 48 {
 49     int y=x,tp=0; sta[++tp]=x;
 50     while(isntroot(y)) sta[++tp]=f[y],y=f[y];
 51     for (R i=tp;i>=1;--i) pushdown(sta[i]);
 52     while(isntroot(x))
 53     {
 54         int t=f[x];
 55         if(!isntroot(t)) rotate(x);
 56         else if(D(x)==D(t)) rotate(t),rotate(x);
 57         else rotate(x),rotate(x);
 58     }
 59 }
 60 
 61 void access (int x)
 62 {
 63     int y=0;
 64     while(1)
 65     {
 66         splay(x); ch[x][1]=y;
 67         update(x);
 68         y=x; x=f[x];
 69         if(!x) return;
 70     }
 71 }
 72 
 73 void makeroot (int x)
 74 {
 75     access(x); splay(x);
 76     rev[x]^=1;
 77 }
 78 
 79 void split (int x,int y)
 80 {
 81     makeroot(x); access(y); splay(y);
 82 }
 83 
 84 void link (int x,int y)
 85 {
 86     makeroot(x); f[x]=y;
 87 }
 88 
 89 void cut (int x,int y)
 90 {
 91     split(x,y);
 92     ch[y][0]=f[x]=0;
 93     update(y);
 94 }
 95 
 96 bool cmp (edge a,edge b) { return a.z<b.z; }
 97 
 98 int fa (int x)
 99 {
100     if(x==tf[x]) return x;
101     return tf[x]=fa(tf[x]);
102 }
103 
104 int main()
105 {
106     scanf("%d%d",&n,&m);
107     v[0]=s[0]=inf;
108     for (R i=1;i<=n;++i)
109         v[i]=inf,id[i]=i,s[i]=inf;
110     for (R i=1;i<=m;++i)
111         scanf("%d%d%d",&e[i].x,&e[i].y,&e[i].z);
112     sort(e+1,e+1+m,cmp);
113     for (R i=1;i<=m;++i) v[i+n]=s[i+n]=e[i].z,id[i+n]=i+n;
114     int mp=n+1,ans=inf;
115     for (R i=1;i<=n;++i) tf[i]=i;
116     for (R i=1;i<=m;++i)
117     {
118         int x=e[i].x,y=e[i].y;
119         if(x==y) continue;
120         if(fa(x)==fa(y)) 
121         {
122             split(x,y);
123             int pos=id[y]; it[pos]=0; 
124             cut(pos,e[pos-n].x); cut(pos,e[pos-n].y);
125             link(i+n,x); link(i+n,y);
126             it[i+n]=1;
127         }
128         else link(i+n,x),link(i+n,y),it[i+n]=1,ed++,tf[ fa(x) ]=fa(y);
129         while(it[mp]==0) mp++;
130         if(ed==n-1) ans=min(ans,e[i].z-e[mp-n].z);
131     }
132     printf("%d",ans);
133     return 0;
134 }

最小差值生成树

维护子树信息的LCT

　　LCT更擅长做一些关于树链的问题，但是呢...毒瘤出题人总能想办法将数据结构的功能扩展再扩展，所以就有了维护子树信息的LCT。

　　其实，LCT维护子树听起来奥妙重重，写起来却没多难；首先，子树=实子树+虚子树；是否可以考虑对于每个点维护它的虚子树信息呢？其实是可以哒。下面将以维护子树大小为例讲讲这种LCT，$si[x]$ 表示的是x所有虚子树的大小的和；

　　首先是update：

　　access:

　　link:

　　然后就没了...因为子树信息只有在新加儿子或者切换虚实儿子的时候才会有影响，在别的时候根本不用改动；

大融合

　　掌握了LCT维护子树信息的方法，这道题就很简单啦。

　　首先我们都知道，这个边的“负载”指的就是(n-x到y方向的子树大小)*(n-y到x方向的子树大小)；不过这样有一点点麻烦，可以考虑转化，先 $split(x,y)$，然后答案就是(y的虚子树和+1)*(x的虚子树和+1)啦；画个图方便理解：

  1 # include <cstdio>
  2 # include <iostream>
  3 # include <cstring>
  4 # define ll long long
  5 # define R register int
  6 
  7 using namespace std;
  8 
  9 const int N=100005;
 10 int n,q,x,y;
 11 int f[N],ch[N][2],s[N],si[N],rev[N],sta[N];
 12 char st[5];
 13 
 14 bool isntroot (int x)
 15 {
 16     return (ch[ f[x] ][0]==x||ch[ f[x] ][1]==x);
 17 }
 18 
 19 void pushdown (int x)
 20 {
 21     if(!rev[x]) return; rev[x]=0;
 22     if(ch[x][0]) rev[ ch[x][0] ]^=1;
 23     if(ch[x][1]) rev[ ch[x][1] ]^=1;
 24     swap(ch[x][0],ch[x][1]);
 25 }
 26 
 27 int D (int x)
 28 {
 29     return ch[ f[x] ][1]==x;
 30 }
 31 
 32 void update (int x)
 33 {
 34     s[x]=si[x]+s[ ch[x][0] ]+s[ ch[x][1] ]+1;
 35 }
 36 
 37 void rotate (int x)
 38 {
 39     int F=f[x],g=f[F];
 40     int dx=D(x),df=D(F);
 41     int k=ch[x][dx^1];
 42     ch[x][dx^1]=F; ch[F][dx]=k;
 43     if(ch[g][df]==F) ch[g][df]=x;
 44     if(k) f[k]=F; f[F]=x; f[x]=g;
 45     update(F); update(x);
 46 }
 47 
 48 void splay (int x)
 49 {
 50     int tp=0,y=x; sta[++tp]=x;
 51     while(isntroot(y)) sta[++tp]=f[y],y=f[y];
 52     for (R i=tp;i>=1;--i) pushdown(sta[i]);
 53     while(isntroot(x))
 54     {
 55         int t=f[x];
 56         if(!isntroot(t)) rotate(x);
 57         else if(D(t)==D(x)) rotate(t),rotate(x);
 58         else rotate(x),rotate(x);
 59     }
 60 }
 61 
 62 void access (int x)
 63 {
 64     int y=0;
 65     while(1)
 66     {
 67         splay(x); 
 68         si[x]+=s[ ch[x][1] ];
 69         si[x]-=s[ y ];
 70         ch[x][1]=y;
 71         y=x; x=f[x];
 72         if(!x) return;
 73     }
 74 }
 75 
 76 void makeroot (int x)
 77 {
 78     access(x); splay(x);
 79     rev[x]^=1;
 80 }
 81 
 82 void link (int x,int y)
 83 {
 84     makeroot(x); access(y); splay(y);
 85     f[x]=y; si[y]+=s[x]; s[y]+=s[x];
 86 }
 87 
 88 ll ask (int x,int y)
 89 {
 90     makeroot(x); access(y); splay(y);
 91     return 1LL*(si[y]+1)*s[x];
 92 }
 93 
 94 int main()
 95 {
 96     scanf("%d%d",&n,&q);
 97     for (R i=1;i<=n;++i) s[i]=1;
 98     for (R i=1;i<=q;++i)
 99     {
100         scanf("%s",st+1);
101         scanf("%d%d",&x,&y);
102         if(st[1]=='A')
103             link(x,y);
104         else
105             printf("%lld
",ask(x,y));
106     }
107     return 0;
108 }

大融合

首都

　　一道很神神神神神神的题！

　　题意概述：维护一个森林，要求支持动态加边，问某个点目前所在联通块的重心，