AC自动机

　　最近机房的同学们都在学字符串,$asuldb$已经做了一大批$manacher$的题目了,于是学习AC自动机.

　　AC自动机=Trie+kmp;

　　但是它也有其独特的地方,可以做一些很奇妙的题目.

　　开始正文部分:

　　前置知识:Trie树,kmp(咕咕咕了所以是别人的链接) .

　　建议先把这两个看懂,但是我个人觉得不会也没关系...

　　AC自动机是一种用处众多的多模式串匹配算法,可以代替kmp.由于本身就是Trie树的一种扩展,完全可以当做Trie来用.这三种字符串算法都非常优秀,在各自专长的领域都可以达到理论下界(输入复杂度).

　　kmp:单模式串单文本串;

　　trie:功能类似于AC自动机,但是只能处理前缀/后缀相关问题;

　　AC自动机:多模式串单文本串;

　　举例子是一种非常有用的学习方法,所以来举一个例子:

　　模式串:aba,bab

　　首先造一棵Trie出来,这肯定没有什么坏处.

　　然后是建立fail指针,先上图再解释吧.

　　从yyb大佬的blog中抄了一句:fail指针是指:沿着其父节点的失配指针，一直向上，直到找到拥有当前这个字母作为子节点的节点，将fail指针指向它的那个子节点.

　　其实这句话可以说是非常清楚明白了...

　　但是难道我们要一直暴力的往上跳去找那个子节点吗？看起来复杂度会变的非常不科学，所以有一个奇妙的操作:如果自己缺少某个儿子,那么将fail指针指向的儿子继承过来!

　　因为这个操作是递归进行的,所以某个点的儿子表示的就是它这一整条fail链上的儿子集合,而且保留的是离自己最近的那个.如果不明白,那么仔细想一想,或者画个图.

　　这只是说了fail的定义,那么它的实际含义是什么呢?这里和kmp类似,我尝试描述一下:fail指针指向的是(使得(从头开始并以fail指针作为结束的字符串)与(以当前节点作为结束字符的字符串的后缀)相同)的节点中深度最深的那个.我知道上述的一些话非常绕口,所以用了括号表示从句的嵌套关系.

　　如果明白了上面的说法,那么fail的构建过程也就非常简单了,用一个bfs即可.

　　下面是匹配,还是一口气写完比较好,否则明天又忘了.

　　首先和Trie树匹配是一样的,从头开始匹配,但是如果出现匹配不上的情况,不用从头开始找,而是像kmp一样跳一跳,只不过这里的跳不是显式的转换到fail指针上去.别忘了刚刚对儿子进行了一个继承,所以假装什么都没有发生过一样愉快的走儿子即可,不过事实上此儿子已经并非你的儿子了...意会即可.

　　既然有了这么多神奇的新定义,自然就可以在这上面做一点文章了,似乎有的题是专把fail提出来树剖的?似乎有的题是考察fail性质的?不过首先定义是必须要掌握的.

　　一个虽然简单但是很容易被绕晕的地方:

　　为什么匹配的时候不会漏过某些字符串?看书的时候就是想不明白,后来发现并不难理解,首先将看起来很容易遗漏的情况分个类:

　　　　1.两个模式串本质上是相同的,那么建立Trie的时候就自然建到了一起,不用担心啦~

　　　　2.acd,cd为模式串,acd为文本串,看起来好像匹配完acd就漏掉了cd,但是第一个d的fail指向第二个d,所以也不会漏掉.

　　AC自动机(简单版):https://www.luogu.org/problemnew/show/P3808

　　题意概述:这道题是一道很模板的模板题.求有多少模式串在文本串中出现过.

　　每跳到一个节点就遍历它发出的整条fail链,统计结束标记的数量,因为不能重复统计,所以统计完改为-1.

 1 # include <cstdio>
 2 # include <iostream>
 3 # include <cstring>
 4 # include <queue>
 5 # define R register int
 6 
 7 using namespace std;
 8 
 9 const int maxn=1000006;
10 int n,cnt=0;
11 char s[maxn];
12 queue <int> q;
13 struct Trie
14 {
15     int ch[maxn][26];
16     int vis[maxn];
17     int fail[maxn];
18     void clear()
19     {
20         memset(ch,0,sizeof(ch));
21         memset(vis,0,sizeof(vis));
22     }
23     void ins()
24     {
25         int x=0,c,len=strlen(s+1);
26         for (R i=1;i<=len;++i)
27         {
28             c=s[i]-'a';
29             if(!ch[x][c]) ch[x][c]=++cnt;
30             x=ch[x][c];
31         }
32         vis[x]++;
33     }
34     void build()
35     {
36         for (R i=0;i<26;++i)
37         {
38             if(ch[0][i])
39             {
40                 fail[ ch[0][i] ]=0;
41                 q.push(ch[0][i]);
42             }
43         }
44         int beg;
45         while(q.size())
46         {
47             beg=q.front();
48             q.pop();
49             for (R i=0;i<26;++i)
50             {
51                 if(ch[beg][i])
52                 {
53                     fail[ ch[beg][i] ]=ch[ fail[beg] ][i];
54                     q.push(ch[beg][i]);
55                 }
56                 else ch[beg][i]=ch[ fail[beg] ][i];
57             }
58         }
59     }
60     int ac()
61     {
62         int len=strlen(s+1);
63         int n=0,x,j,ans=0;
64         for (R i=1;i<=len;++i)
65         {
66             x=s[i]-'a';
67             n=ch[n][x];
68             j=n;
69             while(j&&vis[j]!=-1)
70             {
71                 ans+=vis[j];
72                 vis[j]=-1;
73                 j=fail[j];
74             }
75         }
76         return ans;
77     }
78 }t;
79 
80 int main()
81 {
82     scanf("%d",&n);
83     for (R i=1;i<=n;++i)
84     {
85         scanf("%s",s+1);
86         t.ins();
87     }
88     t.build();
89     scanf("%s",s+1);
90     printf("%d",t.ac());
91     return 0;
92 }

AC自动机_简单版

　　AC自动机(加强版):https://www.luogu.org/problemnew/show/P3796

　　题意概述:求出现次数最多的模式串数量.

　　记录每个模式串的结束位置,用文本串匹配时顺便打一些标记表示有多少次可以匹配到此处,匹配完后统计即可.网上的做法似乎很丰富,不过我感觉我这个就挺好...而且时间复杂度也非常科学.

 1 # include <cstdio>
 2 # include <iostream>
 3 # include <cstring>
 4 # include <queue>
 5 # define R register int
 6 
 7 using namespace std;
 8 
 9 const int maxn=1000006;
10 const int maxz=20500;
11 int n,ed[200];
12 char s[151][80],st[maxn];
13 queue <int> q;
14 struct FSM
15 {
16     int ch[maxz][26],cnt;
17     int fail[maxz],vis[maxn];
18     void clear()
19     {
20         cnt=0;
21         memset(ch,0,sizeof(ch));
22         memset(fail,0,sizeof(fail));
23         memset(vis,0,sizeof(vis));
24     }
25     int ins (int d)
26     {
27         int x=0,c,len=strlen(s[d]+1);
28         for (R i=1;i<=len;++i)
29         {
30             c=s[d][i]-'a';
31             if(!ch[x][c]) ch[x][c]=++cnt;
32             x=ch[x][c];
33         }
34         return x;
35     }
36     void build()
37     {
38         int n;
39         for (R i=0;i<26;++i)
40             if(ch[0][i])
41                 q.push(ch[0][i]);
42         while(q.size())
43         {
44             n=q.front();
45             q.pop();
46             for (R i=0;i<26;++i)
47             {
48                 if(ch[n][i])
49                 {
50                     fail[ ch[n][i] ]=ch[ fail[n] ][i];
51                     q.push(ch[n][i]);
52                 }
53                 else ch[n][i]=ch[ fail[n] ][i];
54             }
55         }
56     }
57     void AC()
58     {
59         int t,c,n=0,len=strlen(st+1);
60         for (R i=1;i<=len;++i)
61         {
62             c=st[i]-'a';
63             n=ch[n][c];
64             t=n;
65             while(t)
66             {
67                 vis[t]++;
68                 t=fail[t];
69             }
70         }
71     }
72 }t;
73 
74 int main()
75 {
76     scanf("%d",&n);
77     while(n)
78     {
79         t.clear();
80         for (R i=1;i<=n;++i)
81         {
82             scanf("%s",s[i]+1);
83             ed[i]=t.ins(i);
84         }
85         t.build();
86         int m=0;
87         scanf("%s",st+1);
88         t.AC();
89         for (R i=1;i<=n;++i)
90             m=max(m,t.vis[ ed[i] ]);
91         printf("%d
",m);
92         for (R i=1;i<=n;++i)
93             if(t.vis[ ed[i] ]==m)
94                 printf("%s
",s[i]+1);
95         scanf("%d",&n);
96     }
97     return 0;
98 }

AC自动机_加强版

---shzr