回溯算法

1.概念

　　回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径。

　　回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。

许多复杂的、规模较大的问题都可以使用回溯法，有“通用解题方法”的美称。

2.基本思想

　　在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根结点出发深度探索解空间树。当探索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问题的解，如果包含，就从该结点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯。（其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法）。

若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。

而若使用回溯法求任一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。

3.一般步骤

　　（1）针对所给问题，确定问题的解空间，首先应明确定义问题的解空间，问题的解空间应至少包含问题的一个（最优）解。

（2）确定结点的扩展搜索规则

（3）以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

4.算法框架

（1）问题框架

设问题的解是一个n维向量(a1,a2,………,an),约束条件是ai(i=1,2,3,…..,n)之间满足某种条件，记为f(ai)。

（2）非递归回溯框架

 1 int a[n],i;
 2 初始化数组a[]
 3 i=1;
 4 while(有路可走&&未达到目标)//还未回溯到根结点
 5 {
 6     if(i>n)//搜索到叶结点
 7     {
 8         搜索到一个解，输出
 9     }
10     else//处理第i个元素
11     {
12         a[i]第一个可能的值
13         while(a[i]不满足约束条件且在搜索空间内)
14         {
15             a[i]下一个可能的值
16         }
17         if(a[i]在搜索空间内)
18         {
19             标识占用的资源
20             i=i+1;//扩展下一个结点
21         }
22         else
23         {
24             清除所占的状态空间//回溯
25             i=i-1;
26         }
27     }
28 }

2.递归回溯框架

回溯法是对解空间的深度优先搜索，在一般情况下使用递归函数来实现回溯法比较简单，其中i为搜索的深度，框架如下：

 1 int a[n]
 2 try(int i)
 3 {
 4     if(i>n)
 5     {
 6         输出结果
 7     }
 8     else
 9     {
10         for(j=下界;j<=上界;j++)//枚举i所有可能的路径
11         {
12             if(fun(j))//满足界限函数和约束条件
13             {
14                 a[i]=j
15                 ......
16                 try(i+1);
17                 回溯前的清理工作(如a[i]置空值等)
18             }
19         }
20     }
21 }