将三角网格上的顶点坐标（x，y，z）看作3个独立的标量场，那么网格上每个三角片都存在3个独立的梯度场。该梯度场是网格的微分属性，相当于网格的特征，在形变过程中随控制点集的移动而变化。那么当用户拖拽网格上的控制点集时，网格形变问题即变为求解以下式子：
根据变分法，上式最小化即求解泊松方程：
其中Φ为待求的网格形变后坐标，w为网格形变后的梯度场。
上式可以进一步表示为求解稀疏线性方程组：
其中L为网格的拉普拉斯算子，b为梯度场w在网格顶点处的散度值。
问题的关键是如何得到网格形变后的梯度场w，文章[Yu et al. 2004]提到其是通过由控制点集变换的加权运算得到，并且提出了几种不同的加权方式（线性加权，高斯加权等）。另外文章[Zayer et al. 2005]中提到可以在网格内构建一个调和场作为加权系数。
1.离散梯度算子定义：
假设f是一个分片线性函数，在网格的每个三角片{xi，xj，xk}的顶点处有f(xi)=fi，f(xj)=fj，f(xk)=fk，通过线性插值可以知道f在三角片上每一点处的值为：
这样f的梯度如下：
其中基函数Φi，Φj，Φk满足Φi+Φj+Φk=1，那么它们梯度之和▽Φi+▽Φj+▽Φk=0。所以f的梯度可以写成如下形式：
经简单计算可以求得▽Φi的表达式是
，同样也可以写出▽Φj、▽Φk的表达式，其中⊥表示将向量逆时针旋转90度，A表示三角片的面积。
2.离散散度算子定义：
设向量值函数w：S→R3，S表示网格，w表示在每个三角片上的向量，那么w在顶点xi处的散度可以定义为：
其中T(xi)表示顶点xi的1环邻域三角片，AT表示三角片T的面积。
3.离散Laplace算子定义：
将梯度算子表达式代入散度算子表达式可以得到顶点xi处的Laplace算子如下形式：
其中N(xi)表示顶点xi的1环邻域点。
效果：
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参考文献：
[1] Y. Yu, K. Zhou, D. Xu, X. Shi, H. Bao, B. Guo, and H.-Y. Shum. "Mesh Editing with Poisson-Based Gradient Field Manipulation." ACM Transactions on Graphics (Proc. SIGGRAPH) 23:3 (2004), 644-51.
[2] R. Zayer, C. Rossl, Z. Karni, and H.-P. Seidel. "Harmonic Guidance for Surface Deformation." Computer Graphics Forum (Proc. Eurographics) 24:3 (2005), 601-10.
[3] 许栋. 微分网格处理技术[D]. 浙江大学, 2006.
[4] 刘昌森. 三角网格曲面上的laplace算子及其应用[D]. 中国科学技术大学, 2012.