简单介绍
LSA和传统向量空间模型(vector space model)一样使用向量来表示词(terms)和文档(documents)，并通过向量间的关系(如夹角)来判断词及文档间的关系；不同的是，LSA 将词和文档映射到潜在语义空间，从而去除了原始向量空间中的一些“噪音”，提高了信息检索的精确度。
文本挖掘的两个方面应用
（1）分类：
a.将词汇表中的字词按意思归类（比如将各种体育运动的名称都归成一类）
b.将文本按主题归类（比如将所有介绍足球的新闻归到体育类）
（2）检索：用户提出提问式（通常由若干个反映文本主题的词汇组成），然后系统在数据库中进行提问式和预存的文本关键词的自动匹配工作，两者相符的文本被检出。
文本分类中出现的问题
（1）一词多义
比如bank 这个单词如果和mortgage, loans, rates 这些单词同时出现时，bank 很可能表示金融机构的意思。可是如果bank 这个单词和lures, casting, fish一起出现，那么很可能表示河岸的意思。
（2）一义多词
比如用户搜索“automobile”，即汽车，传统向量空间模型仅仅会返回包含“automobile”单词的页面，而实际上包含“car”单词的页面也可能是用户所需要的。
LSA原理
通过对大量的文本集进行统计分析，从中提取出词语的上下文使用含义。技术上通过SVD分解等处理，消除了同义词、多义词的影响，提高了后续处理的精度。
流程：
（1）分析文档集合，建立词汇-文本矩阵A。
（2）对词汇-文本矩阵进行奇异值分解。
（3）对SVD分解后的矩阵进行降维
（4）使用降维后的矩阵构建潜在语义空间
SVD分解，即奇异值分解，听起来很高大上，其实就是将一个矩阵用其他几个矩阵的乘积来表示。假设有 m×n 的矩阵 A，那么 SVD 就是要找到如下式的这么一个分解，将 A分解为 3 个矩阵的乘积：
A m x n = Um x k X ∑ k x k X Vk x nT
性质：对于奇异值,它跟我们特征分解中的特征值类似，在奇异值矩阵中也是按照从大到小排列，而且奇异值的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上的比例。也就是说，我们也可以用最大的k个的奇异值和对应的左右奇异向量来近似描述矩阵。即矩阵A只需要灰色的部分的三个小矩阵就可以近似描述了由于这个重要的性质，SVD可以用于PCA降维，来做数据压缩和去噪。也可以用于推荐算法，将用户和喜好对应的矩阵做特征分解，进而得到隐含的用户需求来做推荐。同时也可以用于NLP中的算法，比如潜在语义索引（LSI）。
先上图
（1）词汇-文本矩阵A是一个稀疏矩阵，其行代表词语，其列代表文档。一般情况下，词-文档矩阵的元素是该词在文档中的出现次数，也可以是是该词语的tf-idf(term frequency–inverse document frequency)。
（2）小矩阵X是对词进行分类的一个结果，它的每一行表示一个词，每一列表示一个语义相近的词类，这一行中每个非零元素表示每个词在每个语义类中的重要性（或者说相关性）
如: X =
[0.7 0.15
0.22 0.49
0.3 0.03]
则第一个词和第一个语义类比较相关，第二个词正好相反，第三个词与两个语义都相关性都不强。
第二个小矩阵B表示词的类和文章的类之间的相关性
如B =
[0.7 0.21
0.18 0.63]
则第一个词的语义类和第一个主题相关，和第二个主题没有太多关系，第二个词的语义类则相反
矩阵Y是对文本进行分类的一个结果，它的每一行表示一个主题，每一列表示一个文本，这一列每个元素表示这篇文本在不同主题中的相关性
如Y =
[0.7 0.15 0.22
0 0.92 0.08]
则第一篇文章属于第一个主题，第二篇文章和第二个主题非常相关，第三篇文章与两个主题都不相关
（3）在构建好词-文档矩阵之后，LSA将对该矩阵进行降维，来找到词-文档矩阵的一个低阶近似。降维的原因有以下几点：
a. 原始的词-文档矩阵太大导致计算机无法处理，从此角度来看，降维后的新矩阵式原有矩阵的一个近似。
b. 原始的词-文档矩阵中有噪音，从此角度来看，降维后的新矩阵式原矩阵的一个去噪矩阵。
c. 原始的词-文档矩阵过于稀疏。原始的词-文档矩阵精确的反映了每个词是否“出现”于某篇文档的情况，然而我们往往对某篇文档“相关”的所有词更感兴趣，因此我们需要发掘一个词的各种同义词的情况。
降维的结果是不同的词或因为其语义的相关性导致合并，如：
{(car), (truck), (flower)} --> {(1.3452 * car + 0.2828 * truck), (flower)}
降维可以解决一部分同义词的问题，也能解决一部分二义性问题。具体来说，原始词-文档矩阵经过降维处理后，原有词向量对应的二义部分会加到和其语义相似的词上，而剩余部分则减少对应的二义分量。
应用
低维的语义空间可以用于以下几个方面:
在低维语义空间可对文档进行比较，进而可用于文档聚类和文档分类。
在翻译好的文档上进行训练，可以发现不同语言的相似文档，可用于跨语言检索。
发现词与词之间的关系，可用于同义词、歧义词检测。
通过查询映射到语义空间，可进行信息检索。
从语义的角度发现词语的相关性，可用于“选择题回答模型”（multi choice questions answering model）。
LSA的优点
1）低维空间表示可以刻画同义词，同义词会对应着相同或相似的主题。
2）降维可去除部分噪声，是特征更鲁棒。
3）充分利用冗余数据。
4）无监督/完全自动化。
5）与语言无关。
LSA的缺点
1）LSA可以处理向量空间模型无法解决的一义多词(synonymy)问题，但不能解决一词多义(polysemy)问题。因为LSA将每一个词映射为潜在语义空间中的一个点，也就是说一个词的多个意思在空间中对于的是同一个点，并没有被区分。
2）SVD的优化目标基于L-2 norm 或者 Frobenius Norm 的，这相当于隐含了对数据的高斯分布假设。而 term 出现的次数是非负的，这明显不符合 Gaussian 假设，而更接近 Multi-nomial 分布。
3）特征向量的方向没有对应的物理解释。
4）SVD的计算复杂度很高，而且当有新的文档来到时，若要更新模型需重新训练。
5）没有刻画term出现次数的概率模型。
6）对于count vectors 而言，欧式距离表达是不合适的（重建时会产生负数）。
7）维数的选择是ad-hoc的。
8）LSA具有词袋模型的缺点，即在一篇文章，或者一个句子中忽略词语的先后顺序。
9）LSA的概率模型假设文档和词的分布是服从联合正态分布的，但从观测数据来看是服从泊松分布的。因此LSA算法的一个改进PLSA使用了多项分布，其效果要好于LSA。
参考资料
https://www.cnblogs.com/bentuwuying/p/6219970.html
https://www.cnblogs.com/pinard/p/6251584.html
https://blog.csdn.net/roger__wong/article/details/41175967
https://blog.csdn.net/callejon/article/details/49811819
https://blog.csdn.net/hlang8160/article/details/81054232