1.浮点数是什么
在计算机中表达实数的方式有定点数和浮点数。定点数的小数点位置固定，不能移动，浮点数的小数点位置可以移动。
所以一个浮点数可以有多种表达方式，如101.101可以表示成1.01101*2^2、1011.01*2^-1。
Java的float和double采用了IEEE 754标准中所定义的单精度 32 位浮点数和双精度 64 位浮点数的格式，用二进制的科学计数法来表示浮点数。
2.浮点数的表示
Java语言的浮点数有两种表示形式
十进制表示：123.0，23.45
科学计数法表示：8.3e2，9.2E-3
1> e是exponent的首字母，指数的意思，表示10的几次方，大小写均可
2> e或E之前必须有数，注意指数有正有负
3> 只有浮点类型的数值才可以使用科学计数法形式表示。例如，51200是一个int类型的值，但512E2则是浮点类型的值
3.浮点数的内存
float在内存中占4个字节32位，内存区域分为三个部分。
尾数位：0-22位，共23位
指数位（阶码位）：23-30位，共8位
符号位：最高位，0表示正数1表示负数
double在内存中占8个字节64位。最高位为符号位，接下来11位为指数位，最后52位为尾数位
根据IEEE754标准规定
对于阶码e ，如果不是0或者255， 就需要减去偏差值，对于float 是127 ，double是1023。减去偏差值的数值才是真正的指数
对于尾数M ，如果阶码不是0或者255，尾数的小数点左侧有一个默认的 1
4.浮点数的底层二进制表示
当我们定义一个浮点数如 float f = 0.1f; 时，0.1在计算机底层是通过二进制来进行存储的。
十进制小数转二进制小数，整数部分和小数部分需要分开处理
-
整数部分：除以2直到商为0，反序取余
-
小数部分：乘以2，取结果的整数部分，再用结果的小数部分乘以2，如此循环下去，直到小数部分为0。然后将整数顺序排列。
如果小数部分永远不为0，则按规定进行取舍。
（因为可能出现永远不为0的情况，所以就注定了有些十进制小数无法用二进制小数精确表示）
来看一个具体例子
float f= 10.8125f；
10.8125整数部分转换为二进制是1010，小数部分转换成二进制是1101
所以10.8125对应的二进制小数位1010.1101，规范写法为1.0101101*10^3
底数去掉1和小数点为0101101，指数为3+127=130，二进制为10000010，符号位为0
即10.8125的二进制为
0100 0001 0010 1101 0000 0000 0000 0000
用程序看一下10.8125的二进制表示
System.out.println(Integer.toBinaryString(Float.floatToIntBits(10.8125f)));
结果为
1000001001011010000000000000000
前面补0为
0100 0001 0010 1101 0000 0000 0000 0000
跟我们计算的一样
5.浮点数不精确
浮点数在计算机中用以近似表示任意某个实数。近似，是什么意思呢？就是用一个近似值去表示一个数。
浮点数并不一定等于小数。
在银行等一些对数据有严格要求的地方，使用的数据类型是BigDecimal
浮点数不精确的原因是因为底层采用二进制表示。
如float f = 0.1f ；计算机底层是无法用二进制去精确表示0.1的，它只会有一个无限接近于0.1的二进制小数
0.1f 在计算机中存储的二进制是 0011 1101 1100 1100 1100 1100 1100 1101，换算成10进制为0.100000001490116119384765
在计算机中，只要二进制存储如上，Java就认为是0.1。（用这个近似值去表示小数0.1）
如 float f = 0.099999999f; 打印出来也是0.1,因为其二进制存储也和上面的一样。
参考：https://my.oschina.net/jasonli0102/blog/3013198
浮点数是有取值范围的，而且是有精度的。如果把浮点数能够表示的所有数在数轴上一一列出来，我们会发现这不是一个完整的线段，而是中间带有间隔。
float a = 0.7f; float b = 0.69999996f; float c = 0.70000001f; System.out.println(a); //0.7 System.out.println(b); //0.7 System.out.println(c); //0.7
如上代码打印出来的都是0.7，这是因为a,b,c三个数字的二进制底层表示是相同的。只要二进制表示是这个数字，那么在Java里，就是0.7
6.当我们定义float f = 0.1f时， 计算机是如何进行保存的？
首先分配4个字节去存储，然后把符号位、尾数位、指数位分别填入
这里我们看一下尾数位
将十进制的0.1 转换为二进制
小数部分乘以2 0.1*2 = 0.2; 0.2*2=0.4; 0.4*2=0.8; 0.8*2=1.6; 0.6*2=1.2;(这里小数部分又得到了最开始的2，这意味着会无限循环下去)
取整数部分 0 0 0 1 1 （接下来取到的整数是 0 0 1 1的循环）
所以0.1对应的二进制小数为0.0 0011 0011……（0011循环）
将其转换为浮点数的规范表达形式， 1.1001100110011……*2^-4
float的尾数除去默认的小数点前面的1，有23位。所以将小数点后面的值依次填入尾数，最后一位按照规定进行取舍，剩下的直接舍弃
忽略最后一位的取舍的话，尾数应该是 100 1100 1100 1100 1100 1100
查看一下0.1的二进制表示
System.out.println(Integer.toBinaryString(Float.floatToIntBits(0.1f)));//111101110011001100110011001101
即尾数应该是 100 1100 1100 1100 1100 1101，除了最后一位，其他跟我们预想的一样
7.阶码为何使用偏差值，float偏差值为何是127？
float的偏差值是127（2^7-1），double的偏差值是1023(2^10-1)
阶码使用偏移量是为了简化运算。
指数是有正有负的。如果把指数位的最高位作为符号位的话，一个浮点数中就会有两个符号位了，那浮点数之间的比较和运算想必会困难许多。
使用了偏移量之后，用无符号整数既可以表示正指数，又可以表示负指数
为什么偏移量是127？
8位可以表示 0000 0000 ~ 1111 1111 即0~255共256个值
规范规定0000 0000与1111 1111用作特殊情况，所以除去0和255，阶码能表示1~254共254个值
为了平衡正负指数，选取了1~254中间的值127。
8.浮点数取值范围
-2*2^127 ~ -1*2^(-126) 与 1*2^(-126) ~ 2*2^127
转化得：
-3.4*10^38 ~ -1.2*10^(-38) 与 1.2*10^(-38) ~ 3.4*10^38
9.浮点数的大小比较
在二进制中，是通过符号位、指数位、尾数位分别比较得到结果的
有一个不相等则不相等
注意指数位的比较，比较的是减去偏移量之后的数
10.浮点运算
浮点计算是指浮点数参与的运算，这种运算通常伴随着因为无法精确表示而进行的近似或舍入
对于0.1+0.2,为什么不精确？
因为这种情况，至少有一个就不能精确表示，然后运算的时候是底层二进制进行运算。
计算二进制的小数部分对应的十进制
public static void binaryFloatToDecimalFloat(String s) { String[] arr = s.split("\."); int length = arr[1].length(); //把小数部分的字符串解析成一个一个的字符串 int[] array = new int[length]; for(int i=0;i<array.length;i++) { String m = arr[1].charAt(i)+""; array[i] = Integer.parseInt(m); } BigDecimal big = new BigDecimal("0"); for(int i=0;i<array.length;i++) { BigDecimal b1 = new BigDecimal(Math.pow(2, -(i+1))*array[i]+""); big = big.add(b1); } System.out.println(big); }
如11.11，小数部分对应的十进制是0.75