整理摘自：https://blog.csdn.net/tsyccnh/article/details/79163834
信息论
Outline
1. 信息量与信息熵
2. 相对熵（KL散度）
3. 交叉熵
--------------------------------
1. 信息量与信息熵
https://baike.baidu.com/item/%E4%BF%A1%E6%81%AF%E7%86%B5/7302318?fr=aladdin
信息论之父 C. E. Shannon 在 1948 年发表的论文“通信的数学理论（ A Mathematical Theory of Communication ）”中， Shannon 指出，任何信息都存在冗余，冗余大小与信息中每个符号（数字、字母或单词）的出现概率或者说不确定性有关。香农用信息熵的概念来描述信源的不确定度。
通常，一个信源发送出什么符号是不确定的，衡量它可以根据其出现的概率来度量。概率大，出现机会多，不确定性小；反之就大。
(1) 某一单个符号发生的不确定性
假设X是一个离散型随机变量，其取值集合为χ,概率分布函数p(x)=Pr(X=x),x∈χ,则定义事件X=x0的信息量为：
I(x0) = −log(p(x0))
(2) 信源所有可能发生情况的平均不确定性
在信源中，考虑的不是某一单个符号发生的不确定性，而是要考虑这个信源所有可能发生情况的平均不确定性。若信源符号有n种取值：U1…Ui…Un，对应概率为：P1…Pi…Pn，且各种符号的出现彼此独立。这时，信源的平均不确定性应当为单个符号不确定性 -logPi 的统计平均值（E），可称为信息熵，即
式中对数一般取2为底，单位为比特。也可以取其它对数底，采用其它相应的单位，它们间可用换底公式换算。
例子：假设你拿出了你的电脑，按下开关，会有三种可能性，下表列出了每一种可能的概率及其对应的信息量
| 序号 | 事件 | 概率p | 信息量I |
|---|---|---|---|
| A | 电脑正常开机 | 0.7 | -log(p(A))=0.36 |
| B | 电脑无法开机 | 0.2 | -log(p(B))=1.61 |
| C | 电脑爆炸了 | 0.1 | -log(p(C))=2.30 |
熵用来表示所有信息量的期望，上面的问题结果就是
(3) 0-1分布问题
对于这类问题，熵的计算方法可以简化为：
2. 相对熵（KL散度）
相对熵又称KL散度,如果我们对于同一个随机变量 x 有两个单独的概率分布 P(x) 和 Q(x)，我们可以使用 KL 散度（Kullback-Leibler (KL) divergence）来衡量这两个分布的差异。
维基百科对相对熵的定义：
In the context of machine learning, DKL(P‖Q) is often called the information gain achieved if P is used instead of Q.
即如果用P来描述目标问题，而不是用Q来描述目标问题，得到的信息增量。
在机器学习中，P往往用来表示样本的真实分布，比如[1,0,0]表示当前样本属于第一类。Q用来表示模型所预测的分布，比如[0.7,0.2,0.1]。
直观的理解就是如果用P来描述样本，那么就非常完美。而用Q来描述样本，虽然可以大致描述，但是不是那么的完美，信息量不足，需要额外的一些“信息增量”才能达到和P一样完美的描述。如果我们的Q通过反复训练，也能完美的描述样本，那么就不再需要额外的“信息增量”，Q等价于P。
KL散度的计算公式：
n为事件的所有可能性，DKL 的值越小，表示q分布和p分布越接近。
附注：这里 p(xi) / q(xi) 在一定程度上可以衡量p,q之间的差距。当 p = q 时，商为1，log值为0，DKL = 0.
3. 交叉熵
对式3.1变形可以得到：
等式的前一部分恰巧就是p的熵，等式的后一部分，就是交叉熵：
在机器学习中，我们需要评估label和predicts之间的差距，使用KL散度刚刚好，即
，由于KL散度中的前一部分−H(y)不变，故在优化过程中，只需要关注交叉熵就可以了。所以一般在机器学习中直接用用交叉熵做loss，评估模型。
机器学习中交叉熵的应用
Outline
1. 为什么要用交叉熵做loss函数？
2. 交叉熵在单分类问题中的使用
3. 交叉熵在多分类问题中的使用
-------------------------------------------------------------
1. 为什么要用交叉熵做loss函数？
在线性回归问题中，常常使用MSE（Mean Squared Error）作为loss函数，比如：
这里的m表示m个样本的，loss为m个样本的loss均值。
MSE在线性回归问题中比较好用，那么在逻辑分类问题中还是如此么？
2. 交叉熵在单分类问题中的使用
这里的单类别是指，每一张图像样本只能有一个类别，比如只能是狗或只能是猫。
上式为一张样本的loss计算方法。式2.1中n代表着n种类别。
举例说明,比如有如下样本
对应的标签和预测值
| * | 猫 | 青蛙 | 老鼠 |
|---|---|---|---|
| Label | 0 | 1 | 0 |
| Pred | 0.3 | 0.6 | 0.1 |
对应一个batch的loss就是：
m为当前batch的样本数，n为类别数。
3. 交叉熵在多分类问题中的使用
这里的多类别是指，每一张图像样本可以有多个类别，比如同时包含一只猫和一只狗。和单分类问题的标签不同，多分类的标签是n-hot。比如下面这张样本图，即有青蛙，又有老鼠，所以是一个多分类问题。
对应的标签和预测值：
| * | 猫 | 青蛙 | 老鼠 |
|---|---|---|---|
| Label | 0 | 1 | 1 |
| Pred | 0.1 | 0.7 | 0.8 |
值得注意的是，这里的Pred不再是通过softmax计算的了，这里采用的是sigmoid。将每一个节点的输出归一化到[0,1]之间。所有Pred值的和也不再为1。换句话说，就是每一个Label都是独立分布的，相互之间没有影响。所以交叉熵在这里是单独对每一个节点进行计算，每一个节点只有两种可能值，所以是一个二项分布。前面说过对于二项分布这种特殊的分布，熵的计算可以进行简化。
附注：相当于对于每一个类别，看做一个0-1分布问题，求各个类别下的lossi，然后将各个类别的loss加和即为多分类任务总的loss.
同样的，交叉熵的计算也可以简化，即 
注意，上式只是针对一个节点的计算公式。这一点一定要和单分类loss区分开来。
例子中可以计算为：
单张样本的loss即为
每一个batch的loss就是：
式中m为当前batch中的样本量，n为类别数。