图算法笔记(四):Tarjan算法求割点与割边

1. 割点与桥(割边)的定义

在无向图中才有割边和割点的定义

割点:无向连通图中,去掉一个顶点及和它相邻的所有边,图中的连通分量数增加,则该顶点称为割点。

桥(割边):无向联通图中,去掉一条边,图中的连通分量数增加,则这条边,称为桥或者割边。

割点与桥(割边)的关系

1)有割点不一定有桥,有桥一定存在割点

2)桥一定是割点依附的边。

下图中顶点C为割点,但和C相连的边都不是桥。

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2. 暴力解决办法解决求解割点集和割边集

暴力法的原理就是通过定义求解割点和割边。在图中去掉某个顶点,然后进行DFS遍历,如果连通分量增加,那么该顶点就是割点。如果在图中去掉某条边,然后进行DFS遍历,如果连通分量增加,那么该边就是割边。对每个顶点或者每个边进行一次上述操作,就可以求出这个图的所有割点和割边,我们称之为这个图的割点集和割边集。

在具体的代码实现中,并不需要真正删除该顶点和删除依附于该顶点所有边。对于割点,我们只需要在DFS前,将该顶点对应是否已访问的标记置为ture,然后从其它顶点为根进行DFS即可。对于割边,我们只需要禁止从这条边进行DFS后,如果联通分量增加了,那么这条边就是割边。

3. Tarjan算法的原理

判断一个顶点是不是割点除了从定义,还可以从DFS(深度优先遍历)的角度出发。我们先通过DFS定义两个概念。

假设DFS中我们从顶点U访问到了顶点V(此时顶点V还未被访问过),那么我们称顶点U为顶点V的父顶点,V为U的孩子顶点。在顶点U之前被访问过的顶点,我们就称之为U的祖先顶点

显然如果顶点U的所有孩子顶点可以不通过父顶点U而访问到U的祖先顶点,那么说明此时去掉顶点U不影响图的连通性,U就不是割点。相反,如果顶点U至少存在一个孩子顶点,必须通过父顶点U才能访问到U的祖先顶点,那么去掉顶点U后,顶点U的祖先顶点和孩子顶点就不连通了,说明U是一个割点。

1

上图中的箭头表示DFS访问的顺序(而不表示有向图),对于顶点D而言,D的孩子顶点可以通过连通区域1红色的边回到D的祖先顶点C(此时C已被访问过),所以此时D不是割点。

2

上图中的连通区域2中的顶点,必须通过D才能访问到D的祖先顶点,所以说此时D为割点。再次强调一遍,箭头仅仅表示DFS的访问顺序,而不是表示该图是有向图。

这里我们还需要考虑一个特殊情况,就是DFS的根顶点(一般情况下是编号为0的顶点),因为根顶点没有祖先顶点。其实根顶点是不是割点也很好判断,如果从根顶点出发,一次DFS就能访问到所有的顶点,那么根顶点就不是割点。反之,如果回溯到根顶点后,还有未访问过的顶点,需要在邻接顶点上再次进行DFS,根顶点就是割点。

4. Tarjan算法的实现细节

在具体实现Tarjan算法上,我们需要在DFS(深度优先遍历)中,额外定义三个数组dfn[],low[],parent[]

4.1 dfn数组

dnf数组的下标表示顶点的编号,数组中的值表示该顶点在DFS中的遍历顺序(或者说时间戳),每访问到一个未访问过的顶点,访问顺序的值(时间戳)就增加1。子顶点的dfn值一定比父顶点的dfn值大(但不一定恰好大1,比如父顶点有两个及两个以上分支的情况)。在访问一个顶点后,它的dfn的值就确定下来了,不会再改变。

4.2 low数组

low数组的下标表示顶点的编号,数组中的值表示DFS中该顶点不通过父顶点能访问到的祖先顶点中最小的顺序值(或者说时间戳)。

每个顶点初始的low值和dfn值应该一样,在DFS中,我们根据情况不断更新low的值。

假设由顶点U访问到顶点V。当从顶点V回溯到顶点U时,

如果

dfn[v] < low[u]

那么

low[u] = dfn[v]

如果顶点U还有它分支,每个分支回溯时都进行上述操作,那么顶点low[u]就表示了不通过顶点U的父节点所能访问到的最早祖先节点。

4.3 parent数组

parent[]:下标表示顶点的编号,数组中的值表示该顶点的父顶点编号,它主要用于更新low值的时候排除父顶点,当然也可以其它的办法实现相同的功能。

4.4 一个具体的例子

现在我们来看一个例子,模仿程序计算各个顶点的dfn值和low值。下图中蓝色实线箭头表示已访问过的路径,无箭头虚线表示未访问路径。已访问过的顶点用黄色标记,未访问的顶点用白色标记,DFS当前正在处理的顶点用绿色表示。带箭头的蓝色虚线表示DFS回溯时的返回路径。

1)

3

当DFS走到顶点H时,有三个分支,我们假设我们先走H-I,然后走H-F,最后走H-J。从H访问I时,顶点I未被访问过,所以I的dfn和low都为9。根据DFS的遍历顺序,我们应该从顶点I继续访问。

2)

4

上图表示由顶点I访问顶点D,而此时发现D已被访问,当从D回溯到I时,由于

dfn[D] < dfn[I]

说明D是I的祖先顶点,所以到现在为止,顶点I不经过父顶点H能访问到的小时间戳为4。

3)

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根据DFS的原理,我们从顶点I回到顶点H,显然到目前为止顶点H能访问到的最小时间戳也是4(因为我们到现在为止只知道能从H可以通过I访问到D),所以low[H] = 4

4)

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现在我们继续执行DFS,走H-F路径,发现顶点F已被访问且dfn[F] < dfn[H],说明F是H的祖先顶点,但此时顶点H能访问的最早时间戳是4,而F的时间戳是6,依据low值定义low[H]仍然为4。

5)

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最后我们走H-J路径,顶点J未被访问过所以 dfn[J] = 10   low[J] = 10

6)

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同理,由DFS访问顶点B,dfn[J] > dfn[B],B为祖先顶点,顶点J不经过父顶点H能访问到的最早时间戳就是dfn[B],即low[J] = 2

7)

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我们从顶点J回溯到顶点H,显然到目前为止顶点H能访问到的最早时间戳就更新为2(因为我们到现在为止知道了能从H访问到J),所以low[H] = 2

8)

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根据DFS原理,我们从H回退到顶点E(H回退到G,G回退到F,F回退到E的过程省略),所经过的顶点都会更新low值,因为这些顶点不用通过自己的父顶点就可以和顶点B相连。当回溯到顶点E时,还有未访问过的顶点,那么继续进行E-K分支的DFS。

9)

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从E-K分支访问到顶点L时,顶点k和L的的dfn值和low值如图上图所示

10)

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接着我们继续回溯到了顶点D(中间过程有所省略),并更新low[D]

11)

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最后,按照DFS的原理,我们回退到顶点A,并且求出来了每个顶点的dfn值和low值。

4.5 割点及桥的判定方法

割点:判断顶点U是否为割点,用U顶点的dnf值和它的所有的孩子顶点的low值进行比较,如果存在至少一个孩子顶点V满足low[v] >= dnf[u],就说明顶点V访问顶点U的祖先顶点,必须通过顶点U,而不存在顶点V到顶点U祖先顶点的其它路径,所以顶点U就是一个割点。对于没有孩子顶点的顶点,显然不会是割点。

桥(割边):low[v] > dnf[u] 就说明V-U是桥

需要说明的是,Tarjan算法从图的任意顶点进行DFS都可以得出割点集和割边集。

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从上图的结果中我们可以看出,顶点B,顶点E和顶点K为割点,A-B以及E-K和K-L为割边。

代码实现待处理 

出处:https://www.cnblogs.com/nullzx/p/7968110.html

原文地址:https://www.cnblogs.com/shitianfang/p/12448282.html