PCA 主成分分析
原理概述
用途 - 降维中最常用的手段
目标 - 提取最有价值的信息( 基于方差 )
问题 - 降维后的数据的意义 ?
所需数学基础概念
向量的表示
基变换
协方差矩阵
协方差
优化目标
降维实例
代码实现
""" 这里假设原始数据集为矩阵 dataMat，其中每一行代表一个样本，每一列代表同一个特征（与上面的介绍稍有不同，上 面是每一列代表一个样本，每一行代表同一个特征）。 """ import numpy as np ################################ # (1)零均值化 ################################ def zeroMean(dataMat): meanVal=np.mean(dataMat,axis=0) #按列求均值（axis=0），即求各个特征的均值 newData=dataMat-meanVal return newData,meanVal # newData是零均值化后的数据，meanVal是每个特征的均值 ################################ # (2)求协方差矩阵 # 若rowvar=0，说明传入的数据一行代表一个样本； # 若非0，说明传入的数据一列代表一个样本。 ################################ newData,meanVal=zeroMean(dataMat) covMat=np.cov(newData,rowvar=0) ################################ # (3)求特征值和特征矩阵 # eigVals存放特征值，行向量 # eigVects存放特征向量，每一列带别一个特征向量 # 特征值和特征向量是一一对应的 ################################ eigVals,eigVects=np.linalg.eig(np.mat(covMat)) ################################ # (4)保留比较大的前n个特征向量 # 第三步得到了特征值向量eigVals，假设里面有m个特征值，我们可以对其排序，排在前面的n个特征值所对应的特征 # 向量就是我们要保留的，它们组成了新的特征空间的一组基n_eigVect ################################ eigValIndice=np.argsort(eigVals) #对特征值从小到大排序 n_eigValIndice=eigValIndice[-1:-(n+1):-1] #最大的n个特征值的下标，首先argsort对特征值是从小到大排序的，那么最大的n个特征值就排在后面，所以eigValIndice[-1:-(n+1):-1]就取出这个n个特征值对应的下标（python里面，list[a:b:c]代表从下标a开始到b，步长为c） n_eigVect=eigVects[:,n_eigValIndice] #最大的n个特征值对应的特征向量 ################################ # (5)获取降维后的数据 # 将零均值化后的数据乘以n_eigVect就可以得到降维后的数据 ################################ lowDDataMat=newData*n_eigVect #低维特征空间的数据 reconMat=(lowDDataMat*n_eigVect.T)+meanVal #重构数据
相关模块方法
sklearn.decomposition.PCA(n_components=None, copy=True, whiten=False)
参数
- n_components: int, float, None 或 string，PCA算法中所要保留的主成分个数，保留下来的特征数
- 如果 n_components = 1，将把原始数据降到一维；
- 如果赋值为string，如n_components='mle'，将自动选取特征个数，使得满足所要求的方差百分比；
- 如果没有赋值，默认为None，特征个数不会改变（特征数据本身会改变）。
- copy：True 或False
- 默认为True，即是否需要将原始训练数据复制。
- whiten：True 或False
- 默认为False，即是否白化，使得每个特征具有相同的方差
对象属性
- explained_variance_ratio_：返回所保留各个特征的方差百分比，
- 如果n_components没有赋值，则所有特征都会返回一个数值且解释方差之和等于1。
- n_components_：返回所保留的特征个数
常用方法
- fit(X): 用数据X来训练PCA模型。
- fit_transform(X)：用X来训练PCA模型，同时返回降维后的数据。
- inverse_transform(newData) ：将降维后的数据转换成原始数据，但可能不会完全一样，会有些许差别。
- transform(X)：将数据X转换成降维后的数据，当模型训练好后，对于新输入的数据，也可以用transform方法来降维
使用示例
import numpy as np from sklearn.decomposition import PCA X = np.array([[-1, -1], [-2, -1], [-3, -2], [1, 1], [2, 1], [3, 2]]) pca = PCA(n_components=2) newX = pca.fit_transform(X) print(X)
[[-1 -1] [-2 -1] [-3 -2] [ 1 1] [ 2 1] [ 3 2]]
print(newX)
array([[ 1.38340578, 0.2935787 ], [ 2.22189802, -0.25133484], [ 3.6053038 , 0.04224385], [-1.38340578, -0.2935787 ], [-2.22189802, 0.25133484], [-3.6053038 , -0.04224385]]) print(pca.explained_variance_ratio_) [ 0.99244289 0.00755711]
可以看出 第一个特征的占比达到了 99% 因此优化特征为1 即可
pca = PCA(n_components=1) newX = pca.fit_transform(X) print(pca.explained_variance_ratio_)
[ 0.99244289]
PCA 总结
优点
1） 仅仅依靠方差衡量信息量，不受数据集以外的因素影响
2）各主成分之间相互正交，可消除原始数据成分间的相互影响的因素
3）计算方法简单，主要运用特征值分解
缺点
1）主成分各个特征维度的含义具有一定的模糊性，不如原始样本特征的解释性强
2）方差小的主成分也有可能含有对样本差异的重要信息，由于降维丢弃可能会对后续数据处理有影响