简单的模糊数学笔记

2.2 模糊集合

表示方法

S 隶属函数 A 模糊集合 S(x) A中元素x的隶属度

A = { (x1, S(x1)), (x2, S(x2)), (x3, S(x3))}

A = {S(x1)/x1 + S(x2)/x2 + S(x3)/x3}

A = {S(x1), S(x2), S(x3)}

基本运算
    a∨b = max{a,b); a∧b = min{a,b}
    所有x 有S_A(x) <= S_B(x)    则B包含A
    所有x 有S_A(x) == S_B(x)    在A等于B
    (A∪B)(x) = S_A(x) ∨ S_B(x)
    (A∩B)(x) = S_A(x) ∧ S_B(x)
    (A’)(x) = 1-(A)(x)

λ水平截集
    A_λ = { x|s_A(x) >= λ}
    (A∪B)_λ = A_λ ∪ B_λ
    (A∩B)_λ = A_λ ∩ B_λ

2.3 隶属函数
相对比较法
    (fj(i), fi(j)) fj(i)是相对于j，i对于A的隶属度
    rij = fj(i)/max(fj(i), fi(j))
    S(i) = min{rij}
对比比较法
    (fj(i), fi(j)) fj(i)是相对于j，i对于A的隶属度
    rij = fj(i)
    S(i) = sigma(Wj*rij) sigma(Wj) = 1

2.4 模糊数
A+B S_(A+B) (z) = ∨_(z=x+y)(S_A(x)∧S_B(y))
A-B S_(A-B) (z) = ∨_(z=x-y)(S_A(x)∧S_B(y))
A*B S_(A*B) (z) = ∨_(z=x*y)(S_A(x)∧S_B(y))
A>B = A∧(>B)
A<B = A∧(<B)
>B: S_(>B)(x) = {1-S_B(x) [x>B], 0 [x<=B]}
<B: S_(<B)(x) = {1-S_B(x) [x<B], 0 [x>=B]}

3.1 模糊关系
S_R(x,y)
3.2 模糊矩阵
M_R = [rij]
λ截矩阵 rλij = {1 [ rij >= λ] , 0 [rij <=λ]}
4.2 模糊集合距离
Minkovski距离 d(A,B) = (sigma(abs(S_A(i) – S_B(i))^p)^(1/p)
4.3 贴近度
Hamming\Euclid σ(A,B) = 1 – (sigma(abs(S_A(i) – S_B(i))^p))^(1/p) / (n^(1/p))
最大最小贴近度 σ(A,B) = (sigma(S_A(i)∧S_B(i))) / (sigma(S_A(i)∨S_B(i)))
格贴近度 σ(A,B) = (A·B)∧(1-A⊙B)

4.4 模糊度
L模糊度 L(A) = 2sigma(abs(S_A(i) – fA_0.5(i))) / n
R模糊度 R(A) = 2(sigma((S_A(i)-fA_0.5(i))^2/n)^(1/2)

5.1 模糊逻辑
S(P) = x

5.2 模糊语言
模糊算子
      名词 SA(x)
      程度副词S_tA(x) = (S_A(x))^p 极=4 很=2 相当=1.22 比较=0.8 有点=0.5 稍微=0.25
      连接词 S_AorB(x) = S_A(x) ∨ S_B(x); S_AandB(x) = S_A(x) ∧ S_B(x); S_notA(x) = 1-S_A(x)

5.3模糊推理
模糊判断句 S(A) = S_A(a)
模糊推理句 S(A->B) = [S(A)∧S(B)]∨[1-S(A)]

6 模糊模式识别
最大隶属度原则、择近原则

OCR 方格识别法像素矩阵与标准像素矩阵进行比较

7 模糊聚类分析
模糊相似矩阵->λ截矩阵
模糊相似关系->模糊等价关系->λ截矩阵
最大生成树